КрНУ

Інформаційний портал – Коледжу Кременчуцького національного університету імені Михайла Остроградського!

Методические рекомендации к проведению лабораторных работ по дисциплине

____________Алгоритми та методи обчислень______________ ( назва навчальної дисципліни)

спеціальність ____123 – комп’ютерна інженерія _____________________ (шифр і назва напряму підготовки)

спеціальність__ _ Обслуговування комп’ютерних систем та мереж____ _ _ _ _ (шифр і назва спеціальності)

кваліфікація___________технік-програміст__________________________ (назва спеціальності)

відділення__ _ _ _ Комп’ютерних мереж та електропобутової техніки_ _ _ _ _ _ (назва інституту, факультету, відділення)

Кременчук 2017 р.

Методичні рекомендації до проведення практичних робіт з дисципліни “Алгоритми та методи обчислень” для студентів спеціальності 5.05010201 «Обслуговування комп’ютерних систем та мереж»

Укладач: Л. М. Шинкаренко

Розглянуто на засіданні циклової комісії електропобутової техніки -31‖ серпня 2017р. Голова циклової комісії ________ С. І. Почтовюк.

Затверджено методичною радою коледжу протокол № 1 від -31‖ серпня 2017р. Голова ради ____________ Р. В. Левченко.

Зміст.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ І. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ, АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ ТА СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ І НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ……………………………………………………………………………………..4

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1. ………………………………………………………………………………………………………………………………4 ТЕМА: ТЕОРІЯ НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ……………………………………………………………………………………………………………4 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2. …………………………………………………………………………………………………………………………….20 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ СКАЛЯРНИХ РІВНЯНЬ…………………………………………………………………………………..20 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3. …………………………………………………………………………………………………………………………….29 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ……………………………………………………………………29 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №4. …………………………………………………………………………………………………………………………….46 ТЕМА: РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ………………………………………………………………………………..46

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІ . АЛГОРИТМИ ТА МЕТОДИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ. ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ І ІНТЕГРУВАННЯ…………………………………………………………………………………………………..66

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5 ……………………………………………………………………………………………………………………………..66 ТЕМА: АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ…………………………………………………………………66 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6. …………………………………………………………………………………………………………………………….69 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ……………………………………………………………………………………………………………..69 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №7 ……………………………………………………………………………………………………………………………..75 ТЕМА: ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В MATHCAD …………………………………………………………………………………………………..75

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІІІ. РОЗВЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ І ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ………..85

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8 …………………………………………………………………………………………………………………………….85 ТЕМА: РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ……………………………………………………………………………………………………85

3

Змістовий модуль І. Методи розв’язання трансцендентних, алгебраїчних рівнянь та систем лінійних і нелінійних рівнянь

Лабораторна робота №1.

Тема: Теорія наближених обчислень.

Мета: сформувати у студентів знання, вміння і навички роботи з наближеними числами у застосуванні формул похибок елементарних дій і функцій, розв’язків язання оберненої задачі теорії похибок і знаходження значень виразів за способом кордонів і методом суворого обліку абсолютних похибок після кожної операції.

Хід роботи:

Запустіть МаthCad.
Абсолютна і відносна похибки.

2.1.Якщо х=0,00006, а х*=0,00005, знайте: ex і δx.

2.2.Якщо х=100500, а х*=100000, знайте: ex і δx..

2.3.Використовуючи Маthcad знайте граничні абсолютні і відносні похибки чисел х=984,6 і х=2,364, якщо вони мають тільки вірні цифри: а) в строгому сенсі, б) в широкому сенсі.

2.4.Задано число х = 2,3644 і відносна похибках δ=0,07%. Визначити кількість вірних цифр числа за відносної похибки.

2.5. Рішення.

х δ= 0,0007 <10-3, значить, число х має принаймні дві цифри, вірних в строгому сенсі. Обчислимо: Дх = 24,307 ∙ 0,0007 = 0,0170149< 0,05.

4

Тобто, в строгому сенсі дійсно вірні цифри 2 і 3.

2.6.Нехай х =984,6, х δ=0,008. Визначити кількість вірних цифр в числі х.

Рішення.

Очевидно, що 0,008 <0,01=2

10−. Це означає, що число х має, принаймні, одну

вірну в строгому сенсі цифру (цифра 9). Отриманий результат легко підтвердити, використовуючи визначення цифри, вірною в строгому сенсі. Обчислимоех= 984,6 ⋅ 0,008 = 7,8768 .Отримана абсолютна похибка не перевищує половину одиниці розряду сотень. Висновки випливає, що цифра 9 справді вірна в строгому сенсі, як за відносної похибки, так і за абсолютною. 2.7.Нехай х = 24,307, х δ= 0,005 %. Визначити всі вірні цифри числа.

Рішення.

= = δ х, значити, в х, приймні, чотири цифри вірні в строгому

0,00005 0,5 10 − 4

сенсі. ОбчислимоДх = 24,307 ∙ 0,00005 = 0,00121535< 0,005. Тобто вірними цифрами будуть цифри 2, 4, 3, 0.

2.8.Дано число х = 24,010. Цифри вірні в строгому сенсі. Вказати межі його абсолютної і відносної похибки.

Рішення.

З визначення цифри, вірною в строгому сенсі, можна укласти, що абсолютна похибка числа х не перевищує половини одиниці розряду тисячних. Значити ех =0,0005.

Відносну похибку знайдемо за формулою:

ех

0,0005 −4 −2

δ х. = = = ⋅ = ⋅

х

24,010

0,2 10 0,2 10 %

2.9.При зважуванні двох вантажів отримали наступні значення їхніх мас х=0,5 кг, у=50 кг. Вважаючи абсолютну похибку зважування дорівнює 1 р, визначити відносну похибку вимірювання мас тіл х, у. Яке з тіл зважено більш точно?

Рішення.

Відносну похибку знайдемо за формулами:

ех

0,001 3

δ х%

= = = ⋅ =

х

0,5

0,2 10 0,2

еу

0,001 5

δ у%

= = = ⋅ =

у

50

0,2 10 0,002

Більш точно виміряний вантаж вагою 50 кг

Похибка округленого числа.

3.1.Округляючи число х=1,1426 до чотирьох значущих цифр, визначити аб солютную і відносну похибки отриманих наближень. Цифри вірні в широкому сенсі.

Рішення.

5

Округле число х до чотирьох значущих цифр: 1

х=1,143.

За визначенням вірною цифри в широкому сенсі абсолютна похибка ех= 0,0001 .

Похибка округленого числа дорівнює сумі похибки вихідного числа і похибки округлення:

Докр= 1,143-1,1426 = 0,0004;

ех1 = 0,0004 + 0,0001 = 0,0005;

ех

1 0,0005

δ х. = = = <

х

1,143

0,000437 0,04%

3.2.Число х, всі цифри якого вірні в строгому сенсі, округлити до трьох значущих цифр. Для отриманого результату обчислити границі абсолютної і відносної похибок. У записі числа вказати кількість вірних цифр щодо абсолютної і відносної похибки х=1,1426. Вирішити в МаthCad.

Рішення:

3.3.Зі скількома вірними в строгому сенсі десятковими знаками після коми треба взяти:

а) 19,35;

б) sin (0,9);

в) 17,51;

г) ln(1,25), щоб відносна похибка не перевищувала 0,1%.

Рішення.

а) 19,35 = 4,3931765

6

Відносна похибка 3

δ х ≤ =. Значить, число 19,35 , принаймні, має дві вірні

0,001 10 −

у строгому сенсі цифри.

х .

4,3931765 10 0,0049 0,005 3 Δ = ⋅ = <

Отже, цифри 4 і 3 дійсно вірні в строгому сенсі, тому правильна відповідь 19,35 ≈ 4,39.

б) sin (0,9)=0,7833269;

Відносна похибка3

δ х ≤ =. Значить, число sin(0,9), принаймні, має дві

0,001 10 −

вірні в строгому сенсі цифри.

х . Отже, цифри 5, 7 і 3 дійсно вірні в строгому 0,7833269 10 0,000733 0,0005 3 Δ = ⋅ = >

сенсі, тому правильна відповідь sin (0,9)=0,783.

1=

в) 0,0571429

1,75

Відносна похибка 3

δ х ≤ = . Значить, число, принаймні, має дві вірні в

0,001 10 −

строгому значенні цифри. 0,571429 10 0,000057 0,00005 3 Δ = ⋅ = >

х . Отже, цифри 5 і 7

вірні в строгому сенсі, тому правильна відповідь: 0,057.

г) 1N (1,25) = 0,223144.

Відносна похибка3

δ х ≤ =. Значить, число 1n (1,25), принаймні, має дві вірні

0,001 10 −

у строгому сенсі цифри.

x . Отже, цифри 2, 2, 3, 1 дійсно вірні в строгому 0,22314 10 0,00022 0,0005 3 Δ = ⋅ = <

сенсі, тому правильна відповідь 1N (1,25) = 0,2231.х = 7,12 ± 0,01, у = 8,27 ± 0,01. 4. Похибки арифметичних дій.

Знайте суму наближених чисел, абсолютні похибки яких дано. У відповіді зберегти вірні цифри і одну сумнівну.

х = 7,12 ± 0,01, у = 8,27 ± 0,01

Рішення.

Знайдемо суму цих чисел х + у = 7,12 + 8,27 = 15,39.

Для визначення кількості вірних цифр знайдемо абсолютну похибку суми ех + у= 0,01 + 0,01 = 0,02 , це число показує, що в Числа 15,39 вірними будуть цифри до розряду десятих, тобто цифри 1, 5 і 3. І оскільки ми відкидаємо число 9 більше п’яти, то результат додавання буде 15,4.

За відносної похибки можна отримати більш сувору оцінку кількості вірних цифр: 0,01 δ х= = .

0,01 δ х = = і 0,0012

7,12

Тоді:

7,12

0,0014

8,27 0,0014

8,27

-2

= ⋅ + ⋅ = < δ х+ у

15,39

15,39

0,0012 0,0012 0,5 10

Тобто в числі 15,39 цифри 1, 5 вірні в строгому сенсі. Відповідь: 15.

7

4.1.. Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную

х = 13,876, у = 11,82.

Решение.

Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превышают единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. Томуех= 0,0005 , еу= 0,005 .

Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:

0,0005 δ х= =;

13,876

0,005 δ у= = 11,82

0,00004 0,0004

Найдем разность чисел х-у-13,876-11,82 = 2,056.

Найдем абсолютную погрешность полученной разницы. Она будет равна: эх− у= 0,0005 + 0,005 = 0,0055 < 0,05 .

То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.

Найдем относительную погрешность разницы. Она будет равна:

13,876

11,82 0,00004

-2

= ⋅ + ⋅ = ≤ ⋅ δ х-у

2,056

2,056

0,0004 0,0025 0,5 10

Действительно, первые две цифры верны в числе 2,056.

Ответ: 2,06.

Погрешности элементарных функций.

5.1. исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными строгому смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) соѕ(0,47);

б) -3,1

у = е;

в) у = 21,51;

г) у = 1n (68,214).

Решение.

а) находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента е0, 47 = 0,005 . Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

( ) есоѕ 0,47 = sin(0,47) ⋅0,005 = 0,00226443;

( ) ( )2

cos 0,47 tan 0,47 0,005 0,00253983 0,005 0,5 10−

δ = ⋅ = ≤ = ⋅

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 0,892.

8

б) находим значение величины у . Оно будет равно 0,0450492. абсолютная погрешность аргумента= 0,05 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины в уровне:0,05 0,0225246 3,1

э э у

= ⋅ =

0,05 0,5 10−

1

= = ⋅ δ в

Это значит, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле. Ответ: 0,04.

в) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,6378875. абсолютная погрешность аргумента= 0,005 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

0,005 −

э;

3

= = ⋅

в

21,51

1,078077 10

Это означает, что в числе 4,6378875 три цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 4,6378.

г) Находим значение величины у . Оно будет равно 4,2226498 абсолютная погрешность аргумента= 0,0005 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

0,0005 − 6

э

= = ⋅

в

68,234

7,3298736 10

0,0005 – – δ у= .

6 5

= ⋅ < ⋅

( )

68,214 ln 68,214 ⋅

1,7358469 10 0.5 10

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

5.2.Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции:

А + ln+

a b

=, если а=12,34, b=14,3.

b (a)

Решение.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом исчисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.

А + ln+

a b

Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения b (a)

=

а bа b а + bln(a) b+ln(a) A 12,34 14,3 3,513 3,78 7,30 2,5129 16,81 0,434

еb

e+(a ) eln b (a ) e +ln A

е b

еа b

e

еа

а

0,005 0,05 0,00071 0,0066 0,0073 0,0004 0,05041 0,0017

Значение погрешностей для удобства округлим до двух значимых цифр из избытка и тоже занесем в таблицу. Цифры даны верны в строгом смысле, значит, ea= 0,005 , еb = 0,05 .

9

Найдем 12,34 = 3,51283. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. высшее):

еа=

0,005= ≈

2 12,34 ⋅

0,0007117 0,00071

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значимые цифры после запятой, то есть 12,34 = 3,51283≈ 3,513.

Это число внесем в таблицу.найдем абсолютную погрешность 14, 3= 3,781534. 0,05= ≈

Она будет равна 0,0066107 0,0066

еb =

2 14,3 ⋅

Итак, в числе b будет одна верная цифра после запятой. Аналогично находим значения всех остальных действия и функции:

э

а+ b

= 0,00071+ 0,0066 = 0,00731≈ 0,0073 0,005

еln a= = ≤

( ) 0,000405 0,0005 12,34

еb+ln(a) = 0,05 + 0,00045 = 0,050405 ≤ 0,5 16,8 0,0073 7,30 0,05

еА =

⋅ + ⋅

0,8764

16,8

2= = 282,24

0,0017

Округляя результат а до верной цифры, получаем окончательный ответ. Ответ: А = 0,434 ±0,002.

Способ границ. Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны пределы измерения аргументов. 6.1.Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d=(3± 0,001) см и высотой

h=(10±0,002) см весит р=(95,5±0,001) г. Определить удельный вес алюминия и оценить предельную абсолютную погрешность найденного удельного веса. Решение.

1 способ.

π

d

2

Объем цилиндра равен: h = ,

V4

p

4

p

Отсюда d h γ = = .

V

π

2

Из полученной формулы следует, что в области Р>0, d>0, h>0 функцияу – растущая по аргументу р и убывающая по аргументам d и h.

Имеем:

2,999 <d<3,001;

9,998 < h < 10,002;

95,499<р< 95,501;

3,14159<π<3,1416.

Тогда для значения у получим:

4 95,499= г см

γ =(нижний предел)

3

21,350 /

3,1416 3,001 10,002

⋅ ⋅

10

4 95,501= г см

γ =(верхний предел)

3

21,352 /

3,14159 2,999 9,998

⋅ ⋅

Взяв среднее арифметическое, получим значение, равное у = (1,351 ±0,002) г/см3. Ответ: у = (1,351 ±0,002) г/см3.

2 способ.

Используя средние значения аргументов, получим:

4 95,5= г см

γ =

3,1416 3 10 ⋅ ⋅

21,351 /

3

Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем: ln γ = ln 4 + ln p − lnπ − 2ln d − ln h. Взяв полный дифференциал, получим:

Δ 2

γ.

Δ

p Δ

=

Δ

π

Δ

d

h

γ

p

π

d

h

0.001 2−

0.00001

δ γ= δ p +δ π + δ d +δ h = + +

2 0.001 ⋅

0.002

4

+ = ⋅

Далее находим:

95.5

3.1416

3

10

8.80

a b

= , а:=12,34; b:=14,3

b (a)

ln

Решение.

Алгоритм решения представлен на рисунках, приведенных ниже:

12

Обратная задача теории погрешностей.

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Дизадана.

n

Тогда Δ Δ =

семо.

их

i 1 =

х

и

и

Δ

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь: Δ и

∂.

Δ = х

семо

Δ = =

семо

х

1

1

х

2

2

х

….

n

х

Δ =

x

n

семо

n

13

Отсюда

Δ

И. Δ =

хи

n

u

xi

В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов i ходна и та же, то:

Δ

Δ =

х

Δ

и

Δ =n

x.

x; ∑ы

i

семо

i

n

семо

х

j

= ∂

х

i 1 и

= ∂

х

j 1 j

7.1.Радиус основания цилиндра R ≈ 2 м; высота цилиндра Н ≈ 3м . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и Н, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м3?

Решение.

Объем вычисляется по формуле H

2 V = πrы 3 ΔV= 0,1 м. Подставляя все выходные

данные, получим приближенно:

∂RH

∂R H

12 V 2

V= =

∂R

π; 2 37,7

V 2

= =

Rπ; 12,6 Hπ .

= =

Отсюда, т. к. п = 3, то, воспользовавшись формулой для вычисления погрешности функции, которая зависит от трех переменных:

f

f

f

Δ = , f Δ Δ +

x

x

y

Δ + y

z

z

Будем иметь: 0,1<

0,1<

0,1<

Δπ=; 0,001

0,003

ΔR=; 0,003

3 12 ⋅

3 37,7 ⋅

Δ H=

3 12,6 ⋅

Таблица погрешности значений элементарных функций.

14

Задания к лабораторной работе № 1:

8.1. задание (самостоятельно).Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (таблица вариантов задания). а) в строгом смысле; б) в широком смысле.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

15

8.2. задания для самостоятельной работы. Число х (табл.), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значимых цифр. Для полученного результата х ≈ х 1 вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа 1

х , указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

8.3.Вычислить значение величины z (табл) при заданных значениях чисел а , b и с, используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a , b и с верны в строгом смысле.

16

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

17

8.4.Решить следующие задачи, используя метод границ.

18

8.4.1. Длина воздушной трассы между двумя пунктами равно S км. Самолет преодолевает это расстояни

е за время t ч. Определить границы средней скорости самолета, если: 4950≤ S ≤ 5050; 5,9 ≤ t ≤ 6,1.

8.4.2. Электроплитка рассчитана на напряжение 220±10В. Найти сопротивление спирали электроплитки, если известно, что через него должен пройти ток 5±0,1 А.

8.4.3. Медный брусок имеет объем V м3(0,0064 ≤V ≤ 0,0065).Найти его массу, если плотность меди укг/м3 составляет 8899 ≤ γ ≤ 8901.

8.5.Решить следующие задачи, используя общую формулу погрешности. 8.5.1. Удельное электрическое сопротивление рметалу круглого провода длиной l м с поперечным сечением d мм и сопротивлением R Ом определяется по формуле: d2

π

R

ρ =. Найти ρ , если: l=12,50 ±0,01 м, d=2,00±0,01 мм,

4

l

R=0,068±0,0005 Ом, π=3,141 ±0,001. Определить относительную погрешность ρ . 8.5.2. Вертикальный цилиндрический резервуар, наполненный жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглое отверстие в дне. Диаметр резервуара D=1±0,01 м, высота уровня жидкости H=2±0,02 м, диаметр отверстия дна d=0,03±0,001 м, коэффициент расхода

τ =

D

2

H

μ=0,6 ±0,02. Расчет (в секундах) ведется по формуле: d g

μ

2

2

8.6.Решить следующие задачи, используя обратную задачу теории погрешностей:

8.6.1. С какой точностью надо измерить радиус круга R = 30,5 см и каким количеством значащих цифр следует ограничиться для числа π , чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1%?

8.6.2. Длина сторон прямоугольника равны а ≈ 5м, b ≈ 200м . Какая допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих величин одинакова для обеих сторон, чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью 2 ΔS = 1м?

Вопросы по теме

Что такое абсолютная и относительная погрешности?
Как классифицируются виды ошибок?
Что означает цифра, верная в строгом, широком смыслах?
Как находится погрешность округленного числа?
Как определить количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа? 6. Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях? 7. Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций? 8. Как формулируется обратная задача теории погрешности?
Какие должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

В каких случаях используется метод границ?

19

Лабораторная работа №2.

Тема: численные методы решения скалярных уравнений.

Цель: Сформировать у студентов представление о применении уравнений в различных областях деятельности, привить знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или иного программного средства для проверки правильности найденного результата.

Ход работы:

Запустите МаthCad.
Метод половинного деления. Решение в пакете методом половинного деления уравнения х4-11х3 + х2 + 0,1=0

2.1. отделение корней.

2.2. Задайте функцию f (x) x411 x3

. x2x 0.1

2.2.1. Постройте график. x 1 1 10 5

, .. 1

1

f( x)

1 0 1

1

x

2.2.2. Отформатируйте область двойным щелчком вызовите окно и включите нужные опции, показанные на рисунке:

2.3.Напишите функцию половинного деления, ее аргументы f – имя функции, х1, х2 – левая и правая координаты концов отрезка; ε -точность вычисления корня. Для рассмотрения процесса нахождения корня уравнения в динамике необходимо сохранить значение корня на каждом шаге вычислительной процедуры и построить зависимость значения корня от номера шага. При написании используйте панель программирова

20

Programming

Palette

Div2(f, x1, x2, ε ) L x2 x1

while L> ε

cx1 x2

2

x2 c f( c) f(x1) if . < 0 x1 c otherwise

L x2 x1

c

И проверьте найденное значение.

q Div2 f, 0.2, 0.7 10 6

,

q = 0.394

f( q) 1.00110 6

=

2.4.Напишите функцию, которая возвращает значение корня на каждом шаге метода половинного деления

Div2I(f, x1, x2, ε ) L x2 x1

i 0

while L> ε

c( x2 x1)

2

x2 c f( c) f( x1) if . < 0

x1 c otherwise

L x2 x1

Ri, 0i

Ri, 1c

i i 1

R

Вычислите матрицу, первый столбец которой содержит номер итерации, второй – значение корня:

21

Q Div2I f, 0.3, 1 10 5

,

Q

=

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

0 1

2 0.387 3 0.431 4 0.409 5 0.398 6 0.393 7 0.396 8 0.394 9 0.394 10 0.394 11 0.394 12 0.394 13 0.394 14 0.394 15 0.394 16 0.394

2.5.Сделайте визуализацию зависимости значения корня от номера шага вычислительной процедуры:

m 0.. rows(Q) 1

0.8

0.6

Qm, 1

0.4

0.2

0 5 10 15 20 Qm, 0

Метод простой итерации.

3.1. Задайте функцию: f (x) x411 x3

. x2x 0.1

3.2. Задайте функцию в соответствии с видом, пригодном для итерационного процесс,.

где m-отличная от нуля константа. f1(x, m, f) x m f(x)

3.3.Так как функция должна удовлетворять условиям теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса. Задайте функцию производной: d

F(x, m, f1, f)xf1(x, m, f)

d

3.4.Постройте график функции и производной, из которого вы увидите, что условия о достаточном условии сходимости итерационного процесса выполняются на интервале 0.05 m

(0,21;08). 1.5

x 0.1 0.1 10 4 , .. 0.8

f 1( x,m,f) F( x,m,f 1,f)

1

0.5

0

0.5

0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

22

3.5. Задайте функцию, реализующую вычислительную схему метода простой итерации на каждом шаге итерационного процесса.

Iter(f, x0, ε , q) x0x0

i 0

xif xiq

1 qε while > .

xi 1f xi

i i 1

x

3.6. Задайте функцию, стоящую в правой части пункта 3.2

f2( x) f1( x, m, f)

3.7. Задайте начальное приближение: x0 0.8

3.8.Вычислите значение корня уравнения на каждом шаге итерационного процесса: qi Iter f2, 0.8 10 5

, , 0.01

3.9.: Сделайте визуализацию итерационного процесса

Ni last( qi) j 0.. Ni

0.8

0.6

qij

0.4

0.2

0 50 100 j

3.10. Выведите точное значение кореняqiNi= 0.394

3.11. Выполните проверку f qiNi 1.81810 6

=

x

Метод хорд. Решите уравнение: ⋅(2 − x) − 0.5 = 0

с точностью ε=0,001

4.1. отделение корня. Используем графический метод. Постройте график функции и найдите точки пересечения ее с осью Ох.

x 4, 3.99.. 5

F(x) (2 x) ex

. 0.5

4

2

F( x)

4 2 0 2 4 6 2

4

x

23

Получили 2 интервала: (-3;-2) и (1,5;2,5). Интервал на котором мы будем уточнять корень: (1,5;2,5).

4.2. уточняем корни. Находим первую производную функции: F(x) (2 x) ex

. 0.5

d

z( x)xF(x)

d

4.3.Определяем знаки. Вычислите значение F(x) на концах интервала (1,5;2,5) F(1.5) = 1.741

F(2.5) = 6.591

Знаки функции F(1,5)>0 и F(2.5)<0 противоположны, значит, на данном отрезке существует корень уравнения.

4.4.Постройте последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируйте результаты вычисления последовательности значений хп. Для этого рассмотрите значение величины az(хп) – эта величина является критерием достижения заданной точности (ε>8.801·10-4), значит х8 = 1,927 является решением уравнения.

n 0.. 1 0 a 1.5 b 2.5

.

x0a xn 1xn

F xnb xn F( b) F xn

az( x)F( x) d

d

F_1pr( x)xF( x) d

d

xF( x)

az xn

0.777

0.283

0.117

0.051

0.022

9.93310 3

.

4.42310 3

.

1.97210 3

.

8.80110 4

.

3.92810 4

.

1.75310 4 .

xn

1.5

1.709 1.823 1.879 1.905 1.917 1.923 1.925 1.926 1.927 1.927

4.5. создайте функцию, реализующую вычисление корня заданного уравнения на

Fhord1( a, b, ε ) n 0

azna

заданном отрезке методом хорд. Решением будет число1, 927, вышло на 3 F azn

while > ε

F_1pr azn

.

azn 1aznF aznb azn

F( b) F azn

n n 1

n

azn

Fhord1( 1.5, 2, 0.001)31.927

=

шаге решения.

24

4.6. Проверьте решение встроенными функциями MathCad. x 2

x1 root(F( x), x)

x1 = 1.927

2 Функция: панель Symbolic Palette

F(x2) solve , x21.9272241673439646537

2.1054665778767432584

3 функция

Given

( 2 x) ex

. 0.50 0

x2 Find( x)

x2= 1.927

Здесь знак равен берется из панели, а функцию вставьте с помощью команды

25

4.7. выполните самостоятельно задание.

При расчете воздушной стальной проволоки получили уравнение для определения усилия натяжения при гололеде 433 94,1 10 0

+ F − ⋅ =. Найти положительный корень

3 2 5

(усилие натяжения).

При решении вопроса об излучении абсолютно черного тела 1

встречающееся уравнение:1

u. Решить его. −

e u

= − +

5

1

1

– х

Решить уравнение 0

х е, которое встречается в задаче о самой выгодной

− =

2

конструкции изоляции для труб.

Решить уравнение ( )m

ln u = α + βu , m>0, встречается в электротехнике.

Наибольшая скорость воды в трубе круглого сечения достигается тогда, когда центральный угол удовлетворяет уравнению tg(x) = x. Определить этот угол.
В задаче о распределении тепла в стержне встречается уравнение tg(x)+ γx = 0 . Решить его.
При исследовании беспроводного излучателя получено уравнение xtg(x) = c , с = const. Для какого наименьшего положительного или отрицательного значения х постоянная равна 1.
Решить уравнение ( )xp

x

2tg x = − , которое встречается при решении задачи о

p

распространение тепла в стержне при наличии излучения в окружающее пространство.

При определении критической нагрузки для балки, свободно опирающейся одним концом, закрепленной другим и сжимаемой продольной силой, встречается =pp

μ

уравнение μ

tg. Решить его при р =2, полагая, щоμ = π + x .

μ+

10. Площадь кругового сегмента, адуга которого, определяется формулой, 1 2 Q = R − (ае радианная мера дуги). Найти сегмент, площадь которого

2

(α sinα)

равна 1/5 площади круга (найти сегмент – значит, найти угловую меру его дуги).

11.Прямоугольная стальная пластинка размерами 150×100 см и толщиной 0,5 см ущемленная по краям и подвергается действию равномерно распределенной нагрузки, равной 0,25 кг/см2. Стрела прогиба z определяется из уравнения z + z =. Найти z, решив данное уравнение (найти корень с четырьмя

3

1,05 0,70 96,4

значимыми цифрами).

12.Шар радиуса R разделить на т частей, равных по объему, путем проведения плоскостей, параллельных между собой (т = 5; т = 10). Отношение Rhзнать с пятью верными десятичными знаками (h – высота шарового слоя).

26

ex 2

13. найти корень уравнения x

– с точностью до трех десятичных знаков

2 + =

(уравнения такого типа встречаются при изучении колебаний стержня под действием продольного удара).

14.Найти наименьший положительный корень уравнения tg(x) = -0,6 x с тремя верными десятичными знаками (уравнение встречается при изучении теплового режима в стенке) .

tg x− 0,6

Найти наименьший положительный корень уравнения () x

= с тремя верными

десятичными знаками.

x

Метод секущих. Решить уравнение: ⋅(2 − x) − 0.5 = 0

с точностью ε=0,001

6.1. отделение корней. Как в пункте 4.1

6.2.Определим неподвижную точку. Для этого определите знаки функции и второй производной на заданном интервале (1,5;2,5). Для этого составим функцию, проверяющую условие недвижимости точки.

a 1.5

d

b 2.5

2

F_2pr( x)

d

x2F( x)

nt a F( a) F_2pr( a) if . 0

b otherwise

nt = 2.5

Тогда неподвижной будет точка а=1,5

6.3.Вычислим значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных.

d

x0a F_1pr( x)xF( x)

di 0.. 10

xi 1xi

xi

1.5

2.277

2.02

1.935

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

F xi

F_1pr xi

F xi

F_1pr( nt)

0.095

0.175

0.036

2.85410 3

.

2.36710 5

.

1.66910 9

.

0

0

0

0

0

27

Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения значение х4=1,927 при n = 4, т.к. 2,367·10-5<0,001 6.4.Создайте функцию, которая реализует метод касательных (аналогично методу хорд, пункт 4.5).

6.5. Проверьте полученный результат встроенными функциями MathCad, пункт 4.6. 6.6. решить уравнения, приведенные в таблице.

28

Вопросы по теме

Что значит решить уравнение?
Каковы этапы решения уравнения с одной неизвестной численными методами? 3. Какие существуют методы решения уравнения с одной неизвестной? 4. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнения?
Суть метода хорд. Графическая интерпретация метода.
Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.
Суть метода простой итерации.
Какое уравнение можно решать методом простой итерации?
Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесса при решении уравнения х= f (Х) на отрезке [a,b], содержащем корень, методом простой итерации? 10. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения х=f (х) методом хорд, касательных, итераций?
Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнения методом хорд, касательных.
Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнений методом простой итерации?

Лабораторная работа №3.

Тема: численные методы решения систем линейных уравнений.

Цель: сформировать у студентов представление о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать умения составлять и применять алгоритмы и программы для решения систем уравнений, дать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений.

Ход работы:

Запустите МаthCad.
Метод Гаусса-Жордана.

8.1. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордана с точностью ε = 0,001:

29

х х х

+ + =

2 5 7

⎪⎨⎧

1 2 3

2 4 3 6 х х х

+ + = −

1 2 3

⎪⎩

4 2 8 х х х

+ + =

1 2 3

Решение с использованием встроенных функций Mathcad:

Введите матрицу коэффициентов при неизвестных А и матрицу свободных членов В:

A

1

2 4

2 4 1

5 3 2

B

7

6

8

Задайте функцию, реализующую метод Гаусса-Жордана. Аргументы функции: А – матрица коэффициентов при неизвестных, В – матрица свободных членов:

S(A, B) c augment(A, B)

d rref( c)

x submatrix(d, 0, 2, 3, 3)

1.694

S(A, B)

=

4.49 2.857

8.2. Проверьте решение с помощью встроенных функций Mathcad: 1 – с помощью функции lsolve; 2 – матричный способ;

 

1.694

=

 

lsolve(A, B)

4.49 2.857

A1.B

=

1.694 4.49 2.857

30

Метод Гаусса:

9.1. Функция, переставляет строки матрицы при обнаружении в текущей строке нулевого элемента на главной диагонали

Exchange(C, i) k i 1

while 0

Ck, i

k k 1

for j∈ 0.. rows(C)

s Ci, j

Ci, jCk, j

Ck, js

C

9.2. прямой ход-приведение системы к треугольному виду

Simplex(A, b) N rows(A)

C augment(A, b)

i 0

for i∈ 0.. N 2

i f 0

C Exchange(C, i) Ci, i for j∈ 0.. N

Ci, N j

Ci, N j Ci, i

for m∈ i 1.. N 1 α Cm, i

for j∈ i.. N

.

Cm, jCm, jα Ci, j

CN 1, NCN 1, N

CN 1, N 1

CN 1, N 11

C

31

9.3.обратный ход – нахождение значений неизвестных: Gauss (A, b) C Simplex(A, b)

N rows(A) 1

vNCN, N 1

for j∈ 1.. N

vN j1

.

j 1

.

CN j, N jCN j, N 10

CN j, N kvN k

v

k

=

9.4. Задайте матрицу системы и вектора-столбца свободных членов: 9.5. проверьте правильность работы функции Simplex (прямой ход):

Simplex(A, b)

=

1

0 0 0 0

2 1

0 0 0

3 2 1

0 0

4

3

2.5 1

0

5

4

4

9.333 1

1 0

7.273 6.364 6.667 0.892

9.6.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса (обратный ход): 0.096

1.432

Gauss (A, b)

=

1.353 1.659 0.892

9.7.Решите систему 2.1 методом Гаусса.

10. Метод простой итерации.

х х х

+ + =

2 5 7

10.1. Решите систему линейных уравнений : ⎪⎩⎪⎨⎧+ + =

1 2 3

2 4 3 6

х х х

+ + = −

1 2 3

4 2 8

х х х

1 2 3

32

10.2. Приведите исходную систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого, например, первое уравнение запишите третье, третье уравнение умножьте на 2, вычтите второе и запишите на первом месте, а второе уравнение умножьте на 2, отнимите первый и запишите на втором месте

6 2 22;

х х х

⎪⎨⎧ ⎪⎩

− + =

1 2 3

3 6 19; х х х

+ + = −

1 2 3

х х х

+ + =

2 5 7.

1 2 3

Коэффициенты, расположенные по диагонали и подчеркнутые, являются преобладающими по строке. 10.3. Составьте матрицы коэффициентов при неизвестных в левой части и свободных членов.

A

6 3 1

2

6

2

1

1

5

B

22 19

7

10.4. Получите преобразованную систему: i 0.. 2 j 0.. 2

AAi, j

Ai, j

Ai, iBBi

Bi

Ai, i

AAi, i0 0

0.333

0.167

3.667

AA

= BB

0.5 0.2

0

0.4

0.167 0

=

3.167 1.4

10.5. Получите систему:

х х х

= + −

3,667 0,333 0,1667 ; ⎪⎨⎧

1 2 3 х х х

= − − −

3,167 0,5 0,1667 ;

2 1 3 ⎪⎩

х х х

= − −

1,4 0,2 0,4 .

3 1 2

Для обеспечения условий сходимости нужно получить такую систему, чтобы коэффициенты в правой части системы были существенно меньше единицы. 10.6. Проверьте одно из условий сходимости итерационного процесса, для чего установите сходимость, то есть “погрузите” систему в пространство с одной из трех метрик: , , . ρ1 ρ 2 ρ 3

В пакете Mathcad коэффициенты сжатия можно определить с помощью функций normi (АА), norml (АА), norme (АА) (соответственно: , , . ρ1 ρ 2 ρ 3)

33

α 1normi(AA ) α 1= 0.667

α 2norm1(AA )α 2= 0.733

α 3norme(AA ) α 3= 0.785

10.7. или воспользоваться формулами для определения коэффициента сжатия, данными ниже, набирая их учитывайте, что изначально набирается функция

max (), а внутри скобок выберите матрицу 3 строки, 1 столбец и в каждой строке набирайте формулу, значок суммы берем из

max

AAT AAT AAT

< 0> < 1> < 2>

= 0.667 max

( AA ) ( AA ) ( AA )

< 0> < 1> < 2>

= 0.733

2

2

AAi, j2

= 0.785

i 0 = =

0

j

Заметьте, что все коэффициенты меньше единицы, значит, систему можно “погрузить” в пространство с любой из метрик. Остановимся на пространстве с метрикой ρ 2. Следовательно, итерационный процесс сходится, причем α= 0,733 .

10.8. Найдите критерий достижения заданной точности при решении системы уравнений методом простой итерации. Для достижения точности ε= 0,001 приближение нужно находить до тех пор, пока будет выполняться неравенство k+1, то есть расстояние между двумя соседними приближениями не

k

х x E

− <

должно превышать числа Е.

ε 0.0001

.

Ε

ε 1 α 2 α 2

Ε 3.63610 5 =

34

k 0.. 1 5

10.9. Вычислите значение итерационной последовательности:

x< 0> BB x< k 1> BB AA x< k> .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

x

=

0

3.667 2.378 1.6 1.604 1.685 1.702 1.696 1.694 1.694 1.694 1.694 1.694 1

-3.167-5.233-4.678-4.47 -4.461-4.487-4.492-4.491-4.49 -4.49 -4.49 -4.49 2

1.4 1.933 3.018 2.951 2.867 2.847 2.854 2.858 2.858 2.857 2.857 2.857

10.10. Для определения, какое приближение будет решением, необходимо найти расстояния между двумя соседними приближениями по метрике ρ 2(т. к. это пространство выбрано)

Введите формулу и поставьте равный:

x< k 1>0x< k>0x< k 1>1x< k>1x< k 1>2x< k>2

3.889

2.418

0.279

0.174

7.6521 0 3

0.063

0.018

9.7981 0 4

.

6.9841 0 4

.

2.3061 0 4

.

6.7751 0 5

.

3.0331 0 5

.

3.8341 0 6

.

2.7071 0 6

.

9.0581 0 7

.

2.6231 0 7

.

.

Полученное десятое значение суммы модулей разностей коэффициентов при неизвестных, равное 2,306 10 E

– удовлетворяет условию критерия. Это означает, что в

4

⋅ <

таблицы значений х девятый столбец является решением системы уравнений методом простой итерации,.

10.11. Визуализируйте полученные значения, построив график:

35

x<k>0 x<k>1 x<k>2

4

2

0

2

4

6

0 5 10 15 k

Графики показывают, что, начиная с к=10, все три линии перестают преломляться, а значит, десятого приближения будет решением системы уравнений методом простой итерации.

⎜⎜⎜⎝⎛

Ответ: решением системы является вектор-столбец

1,1694 ⎟⎟⎟⎠⎞

x, полученный на

=

десятом шаге итерации.

11. Метод Зейделя.

– 4,49 2,857

12.Решить систему линейных уравнений методом Зейделя с точностью ε= 0,001: х х х

+ + =

2 5 7

⎪⎨⎧

1 2 3

2 4 3 6 х х х

+ + = −

1 2 3

⎪⎩

4 2 8 х х х

+ + =

1 2 3

12.1. Введите матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов.

⎜⎜⎜⎝⎛

1

2

5

⎟⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎜⎝⎛

7

⎟⎟⎟⎠⎞

А : ,

В : .

=

2

4

3

= −

6

4

1

2

8

12.2. Задайте функцию, выполняющую последовательно:

✔ приведение системы к нормальному виду;

✔ приведение нормальной системы к виду, подходящему для итерационного процесса Зейделя;

✔ реализация итерационного процесса Зейделя. Аргументы функции: А – матрица исходной системы, B – вектор-столбец свободных членов, ε – точность решения. Функция возвращает решение системы и его погрешность.

Замечание: при наборе оператора if: if, сделайте слева команду Add Line дважды и получите

36

Zeidel(A, B, ε ) N rows(A) 1 C AT.A

D AT.B

for i∈ 0.. N

D1i

Di

Ci, i

d0iD1i

d1iD1i

for i∈ 0.. N

for j∈ 0.. N

C1i, j0 if i j

C1i, j

Flag 0

R0d0

k 1

while Flag 0

Ci, j

Ci, iotherwise

for i∈ 0.. N N

tmp

.

C1i, jd1j

D1i

j

=

0

d1itmp

Rkd1

s RkRk 1 if s < ε

Flag 1

Rf d1

d0 d1

k k 1

Rf

s

12.3. Решите систему, используя эту функцию:

37

X Zeidel A, B 10 3 ,

{3,1}

X

=

8.98410 4 1.693

X0

=

4.488 2.857

X18.98410 4

=

12.4. Проверьте решение:

Z A1.B

1.694

Z

=

4.49 2.857

13. Метод Гаусса-Зейделя. Отладьте программы и проверьте их решения на примерах, выданных преподавателем.

13.1. Пример реализация на С ++

// Условие окончания

bool converge(double *xk, double *xkp)

{ for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (fabs(xk[i] – xkp[i]) >= eps)

return false;

}

return true;

}

/*

Ход метода, где:

a[n][n] – Матрица коэффициентов

x[n], p[n] – Текущее и предыдущее решения

b [n] – Столбец правых частей

Все перечисленные массивы вещественные и

должны быть определены в основной программе,

также в массив x[n] следует поместить начальное

приближение столбца решений (например, все нули)

*/

do

{ for (int i = 0; i < n; i++)

p[i] = x[i];

38

for (int i = 0; i < n; i++)

{

double var = 0;

for (int j = 0; j < i; j++)

var += (a[i][j] * x[j]);

for (int j = i + 1; j < n; j++)

var += (a[i][j] * p[j]);

x[i] = (b[i] – var) / a[i][i];

}

}while (!converge(x, p));

13.2. Реализация на Pascal

type ar2d = array [1..50, 1..50] of double;

ar1d = array [1..50] of double;

procedure seidel(n: byte; e: extended; a: ar2d; b: ar1d; x: ar1d);

var i, j: longint;

s, v, m: double;

begin

// Проверка на совместность

for i := 1 to n do

begin

s := 0;

for j := 1 to n do

if j <> i then s := s + abs(a[i, j]); if s >= abs(a[i, i]) then

begin

writeln(‘SLAE is inconsistent’);

exit

end;

end;

/ Сам алгоритм

repeat

m := 0;

for i := 1 to n do

begin

s := 0;

for j := 1 to n do

if i <> j then s := s + a[i, j] * x[j]; v := x[i];

x[i] := (b[i] – s) / a[i, i];

m:=abs(x[i])-abs(v);

end;

until m < e;

// Вывод корней

writeln(‘roots: ‘);

for i := 1 to n do

writeln(‘x[‘, i, ‘]= ‘, x[i]:0:4);

end;

14.Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

39

t1+4t2+2t3-3t5 =0

2t1+9t2+5t3+2t4+t5=0

t1+3t2+t3-2t4-9t5=0

3t1+12t2+6t3-8t5=0

2t1+10t2+6t3+4t4+7t5=0

14.1. Установите режим автоматических вычислений, обозначив строку Automatic Calculation в меню Math.

14.2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

14.3. Введите матрицу системы:

14.4. Вычислите ранг матрицы системы:

14.5. Приведите матрицу системы к ступенчатой виду:

14.6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

Given

t 1 2.t 3 8.t 4 0

t 2 t 3 2.t 4 0

t 5 0

40

Здесь равна ставится из панели:

14.7. Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных: (используйте ту же панель, что в пункте выше)

14.8. Запишите общее решение системы:

14.9. Найдите фундаментальную систему решений:

15. исследуйте неоднородную систему:

Решение:

15.1. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

15.2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

41

15.3. Сформируйте расширенную матрицу системы:

15.4. Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

15.5. Приведите расширенную матрицу совместной системы до ступенчатого вида:

15.6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и позвольте ее относительно базисных переменных:

15.7. Запишите общее решение:

15.8. Найдите фундаментальную систему решений:

42

16. задания к лабораторной работе № 3.

17.Решить систему уравнений с тремя неизвестными заданную в таблице методом Гаусса, методом простой итерации, методом Зейделя с точностью ε= 0,001. Составить функции, реализующие методы, проверить решение с помощью встроенных функций пакета Mathcad.

43

44

18. исследуйте неоднородную систему:

19. в отчете к лабораторной работе № 3 ответьте на вопросы по теме:

45

Какие вы знаете группы методов решения систем линейных уравнений с п неизвестными?
Какие методы относятся к прямым методам решения систем линейных уравнений с п неизвестными ?
Какие методы относятся к приближенным методам решения систем линейных уравнений с п неизвестными ?
Что значит решить систему уравнений с п неизвестными ?
В чем заключается суть метода Гаусса – Жордана для решения систем уравнений ? 6. Как формулируется правило прямоугольника для решения систем методом Гаусса – Жордана?
Что такое метрика ?
Что такое сжимающее отражение ?
В чем заключается суть метод простой итерации для решения систем уравнений ? 10. Какую систему можно решать методом простой итерации ?
Как привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами ?
Как находится расстояние между двумя приближениями в пространстве с метрикой , , . ρ1 ρ 2 ρ 3?
Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесса при решении систем? 14. Как найти коэффициент сжатия?
Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении систем линейных уравнений методом простой итерации, методом Зейделя?
Как строится итерационная последовательность значений при решении систем уравнений методом простой итерации, методом Зейделя?

Лабораторная работа №4.

Тема: решение задач линейного программирования.

Цель: получение навыков в решении задач линейного программирования. Теоретические сведения.

Математически в общем виде задачи линейного программирования формулируют так: задана система линейных уравнений

и линейную функцию (целевую функцию)

Надо найти такое неотъемлемое решение системы, при котором линейная функция приобретает наибольшее (наименьшее) значение.

46

Система уравнений может иметь единое неотъемлемое решение, не иметь никакого неотъемлемого решения, или иметь бесконечное множество неотъемлемых решений. Для последнего случая задача линейного программирования состоит в том, чтобы из этого множества найти то решение, при котором целевая функция приобретает максимума (минимума).

Задача 1. Найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции: при ограничениях (условиях):

где заданы постоянные величины.

Развязывание:

1) Специальной переменной ORIGIN присвоить значение 1. Значением ORIGIN является номер первого элемента строки или столбца в матрице. По умолчанию ORIGIN=0.

В меню Math выбрать строку Options или

2) Ввести начальные данные задачи в матричной форме.

3) Ввести линейную целевую функцию.

4) задать начальные значения переменным задачи.

5) Ввести ограничение задачи в матричной форме (в случае небольшого числа переменных можно ввести ограничения в начальной форме).

или

47

6) Определить оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

7) В случае задачи с двумя переменными построить график прямых, соответствующих ограничениям, и линии уровня, используя инструмент анимации.

Задача 2. Транспортная задача.

Найти экстремум (минимум) линейной целевой функции:

при предельных (условиях):

где даны постоянные величины, причем

.

Развязывание:

1.2. Ввести начальные данные:

48

Ввести линейную целевую функцию:
Задать начальные значения переменным:
Ввести ограничение задачи в матричной форме:

иль

Определить оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize.

Задача 3. Модель межотраслевого баланса Леонтьева исчисление совокупного выпуска по заданному спросу.

Межотраслевой баланс в экономике, как известно, – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, которые производят определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли тратятся определенные ресурсы, которые изготавливаются как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики

49

выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем. Цель балансового анализа-определить, сколько продукции должна сделать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в отраслях, производящих, а другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

– объем выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, изготовленных в одном из n производящих секторов), i = 1,2, …, n;

– объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых в j-м секторе;

– конечный продукт i-го сектора (объем продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

– количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс-это равенство объема выпуска каждого производящего сектора суммарному объему его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношение баланса:

, i=1,2,…,n.

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат имеют вид:

, i=1,2,…,n,

или, что такое же самое

, i=1,2,…,n.

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного

50

сектора поступает та часть изготовленной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) – через Y, а структурную матрицу экономики – матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат – через А, то соотношения баланса в матричной

форме будут иметь вид: , где Е – единичная матрица. Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как .

Матрица называется матрицей полных затрат.

Ход работы.

Найти максимальное значение функции.

при заданных ограничениях

Развязывание:

1.1.Специальной переменной ORIGIN присвоить значение 1. Значением ORIGIN есть номер первого элемента строки или столбца в матрице. По умолчанию ORIGIN = 0. В меню Math выбрать строку Options или

1.2. Ввести входные данные задачи в матричной форме:

1.3. Ввести линейную целевую функцию:

1.4. задать начальное значение переменным задачи:

51

1.5. Ввести ограничение задачи в матричной форме:

1.6. Определяют оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

1.7. В случае задачи с двумя переменными построить график.

Задачи задач линейного программирования:

2.1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования изготовления). 2.1.1. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Число единиц ресурсов,

используют на изготовление

Вид ресурса

единицы продукции Запас ресурса

P1 P2

S1 1 3 18 S2 2 1 16 S3 – 1 5 S4 3 – 21

Прибыль, получаемая от

единицы продукции 2 3

52

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.1.2. Для изготовления двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие языки задачи приведены в таблице.

Нормы расхода сырья на один

Вид сырья

изделие, кг Общее количество сырья, кг

P1 P2

I 12 4 300

II 4 4 120

III 3 12 252

Прибыль от реализации

одного изделия, грош. от. 30 40

Создать такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделия А.

2.1.3. Для изготовления трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования, общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида указаны в таблице:

Затраты времени (станко-ч) на обработку

Тип оборудования

одного вида изделия общий фонд рабочего времени оборудования (ч.)

А В С

Фрезерное 2 4 5 120 Токарное 1 8 6 280 Сварочное 7 4 5 240 Шлифовальное 4 6 7 360

Прибыль (грош. от.)

10 14 12

Нужно определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

2.1.4. Кондитерская фабрика для изготовления трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахар-песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1т карамели данного вида, общее количество сырья каждого вида, которое

53

может быть использована фабрикой, а также прибыль от реализации 1 т кара

мели данного вида приведены в таблице:

Вид сырья

Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели

А В С

Общее количество сырья (т)

Сахар-песок 0.8 0.5 0.6 800

Патока 0.4 0.4 0.3 600

Фруктовое пюре – 0.1 0.1 120

Прибыль от реализации 1 т

продукции (грош. от.) 108 112 126

Найти план изготовления карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

2.1.5. Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице:

Нормы расхода сырья на

Вид сырья

одно изделие, кг Общее количество сырья, кг

А В С

I 18 15 12 360

II 6 4 8 192

III 5 3 3 180

Цена одного изделия

(грош. от.) 9 10 16

Изделия А, В и С могут изготовляться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но изготовление ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Создать план изготовления изделий, при котором общая стоимость всей продукции, производимой предприятием , является максимальной.

2.1.6. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

54

Вид ресурса

Число единиц ресурсов,

расходуются на изготовление единицы

продукции Запас ресурса P1 P2

S1 2 3 180 S2 4 1 240 S3 6 7 426 прибыль, что

получается от единицы продукции

16 12

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.1.7. Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль от единицы продукции, приведены в таблице:

Число единиц ресурсов, расходуемых на

Вид ресурса

изготовление единицы продукции Запас ресурса

P1 P2

S1 10 8 168

S2 5 10 180

S3 6 12 144

Прибыль от единицы

продукции 14 18

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.1.8. Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль от единицы продукции, приведены в таблице:

Число единиц ресурсов,

расходуются на изготовление

Вид ресурса

единицы продукции Запас ресурса P1 P2

S1 0.2 0.1 40 S2 0.1 0.3 60 S3 1.2 1.5 371.4

55

Прибыль от единицы

продукции 6 8

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.1.9. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Число единиц ресурсов,

Вид ресурса

расходуются на изготовление единицы продукции

P1 P2 P3 P4

Запас ресурса

S1 1 – 2 1 180

S2 – 1 3 2 210

S3 4 2 – 4 800

Прибыль от единицы

продукции 9 6 4 7

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.1.10. Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль от единицы продукции, приведены в таблице:

Число единиц ресурсов, расходуемых на

Вид ресурса

изготовление единицы продукции Запас ресурса P1 P2 P3 P4

S1 2 1 1 3 300

S2 1 – 2 1 70

S3 1 2 1 – 340

Прибыль от единицы

продукции 8 3 2 1

Необходимо создать такой план изготовления продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

2.2. Задача планирования рациона (задача О диете, задача о смеси). 2.2.1. Имеется два вида корма i И II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3. Число единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма,

56

стоимость 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:

Питательное вещество (витамин)

Число единиц питательных веществ в 1 кг необходимый минимум питательных веществ I II

S1 3 1 9

S2 1 2 8

S3 1 6 12

Стоимость 1 кг корма 4 6

Необходимо создать дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

2.2.2. Рацион питания животных на ферме состоит из двух видов корма i И II. 1 г корма и стоит 80 грош.от. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. 1 кг корма II стоит 10 грош.от. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Создать наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

2.2.3. При кормлении животных каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 ед. питательного вещества А, не менее 50 ед. питательного вещества В и не менее 12 ед. питательного вещества С. указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в таблице:

Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма вида

Питательные вещества

I II III

А 1 3 4

В 2 4 2

С 1 4 3

Создать дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг норма И вида есть 9 грош.от. корм II вида-12 грош.от., корм III вида-10 грош.от.

2.3. Задача об использовании мощностей (задача о загруженности оборудования)

Предприятию задан план продукции по времени и номенклатуре: нужно за время Т выпустить n1, n2, …, пкодиниц продукции P1, P2, …, Pk. Продукция изготавливается на станках S1, S2,…, Sm. Для каждого станка известны мощность аіј (т. е. число единиц продукции, которое возможно произвести на станке Ѕі) и затраты bij на изготовление продукции Pj на станке Si за единицу времени. Необходимо создать такой план работы станков (то есть определить выпуск

57

станками), чтобы затраты на изготовление всей продукции были минимальными.

2.3.1. На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в таблице:

Тип аппарата производительность работы линий, шт. за суток

Расходы на работу

линий, грош. от. за сутки План, шт.

1 2 1 2

А 4 3 400 300 50

В 6 5 100 200 40

С 8 2 300 400 50

Создать такой план загрузки станков, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

2.4. Задача о выкрое материалов.

На выкройку (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве а единиц. Нужно изготовить из него и Потрошитель комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b1, b2, …, bi (условие комплексности). Каждая единица материала может быть выкроена n различными способами, причем использование i-го способа (i=1,2,…,n) дает аик единиц k-го изделия (k=1,2,…,I). Необходимо найти план выкроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

2.4.1. Для изготовления брусков длиной 1, 2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 брусков длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

2.4.2. Необходимо распилить 20 брусков длиной по 5 м каждое на бруски по 2 м и 3 м; при этом должно получиться равное количество брусков каждого размера. Сделать такой план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов и все бруски будут распилены (в один комплект общая стоимость перевозок является минимальной).

Решение транспортных задач.

Задача 2. Дано n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции из i-того пункта производства в j-й центр распределения cij приведена в таблице, где под строкой будем понимать пункт производства, а под столбцом – пункт распределения. Кроме того, в i-той строке этой таблицы указывается объем производства в i-том пункте производства, а в j-том столбце указывается спрос в j-том центре распределения. Необходимо составить план перевозок продукции в пункты назначения с минимальными суммарными транспортными издержками.

Стоимость перевозки единицы продукции объем

производства

1 2 4 5 20 5 2 10 3 30 3 2 1 4 50 6 4 2 6 20

42 40 80 38 объем потребления

58

Решение средствами MathCad:

3.1. Ввести начальные данные в матричной форме:

3.2. Ввести линейную целевую функцию:

3.3. Ввести начальные значения переменных:

3.4. Ввести ограничение задачи в матричной форме:

3.5.Определить оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize:

Решить транспортные задачи по вариантам:

4.1. для строительства четырех объектов используется кирпич, изготовленный на трех заводах. Ежедневно каждый из заводов может изготавливать 100, 150 и 50 ум. от. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов соответственно равны 75, 80, 60 и 85 ум. от. Известны также тарифы перевозок 1 ум. от. кирпича с каждого из заводов к каждому из строящихся объектов:

59

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.2. На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов задаются матрицей:

Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.3. В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот бензин ежедневно получают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 160, 60 и 40 т. Стоимости перевозок 1 т бензина с хранилищ к заправочным станциям задаются матрицей:

Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.4. На трех железнодорожных станциях А1, А2 и А3 скопилось 120, 110 и 130 не загруженных вагонов. Эти вагоны необходимо перегнать на железнодорожные станции В1, В2, В3, В4 и В5. На каждой из этих станций потребность в вагонах соответственно равна 80, 60, 70, 100 и 50. Тарифы перегонки одного вагона определяются матрицей:

Составьте такой план перегонок вагонов, чтобы общая стоимость была минимальной.

4.5. Для строительства трех дорог используется гравий из четырех карьеров. Запасы гравия в каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 ум. от. Потребности в гравии для строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 160 и 50 ум. от. Известны также тарифы перевозок 1 ум. от. гравия с каждого из карьеров к каждой из строящихся дорог, задаваемых матрицей:

60

Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.

4.6. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей:

Составить такой план прикрепления получателей продукции ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.7. Производственное объединение имеет в своем составе три филиала, которые производят однородную продукцию соответственно в количествах, равных 50, 30 и 10 ед. Эту продукцию получают четыре потребителя, расположенные в разных местах. Их потребности соответственно равны 30, 30, 10 и 20 ед. Тарифы перевозок единицы продукции от каждого из филиалов соответствующим потребителям задаются матрицей:

Составить такой план прикрепления получателей продукции ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной

4.8. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 60 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 ед. груза. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из складов во все магазины задаются матрицей:

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.9. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в

61

трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей:

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

4.10. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют пять видов сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в пяти местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 100, 40, 100 и 70 од. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей:

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Задача 3. Межотраслевой баланс.

Задана модель экономики, в которой выделено четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства как сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса (объемы указаны в единицах стоимости):

Сельское

хозяйство

Промышленник

Транспорт Домашние хозяйства

Общий выпуск

Сельское

хозяйство Промыслова ть

50 16 120 60 246 30 10 180 100 320

Транспорт 15 14 140 80 249 вычислить вектор выпуска для вектора конечного спроса Y = (100 150 120). Развязывание.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями и комментариями приведен ниже.

5.1. Переменная ORIGIN содержит номер первой строки (столбца) матрицы или первого элемента вектора. По умолчанию ORIGIN: = 0. Обычно же в

62

математической записи используется нумерация из 1, поэтому определяем значение этой переменной равным 1.

5.2. Это матрица межотраслевого баланса, элементами которой являются количество товаров и услуг i-того сектора, потребляемой j-тем сектором (i=1,2,3;j=1,2,3,4). Смотрите таблицу.

5.3.Начальный вектор выпуска, заданный в таблице (общий выпуск)

5.4.Построение структурной матрицы А по формуле – количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

5.5. Построение матрицы полных затрат по формуле , где единичная матрица 3-го порядка Е = identity (3) – встроенная функция MathCAD.

5.6. новый вектор конечного спроса:

63

5.7. Вычисление вектора выпуска при новом векторе конечного спроса по формуле:

Следовательно, при векторе конечного спроса Y = (100 150 120) вектор выпуска X = (383.18 483.521 375.827).

Решить задачи межотраслевого баланса по вариантам. Исследовать заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I – сельское хозяйство, В и II – промышленность, С и III – транспорт, IV – сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V – общий выпуск). Найти объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу.

6.1.Y=(100 100 110)

I II III IV V

A 10 16 50 20 96

B 3 15 40 23 81

C 2 26 30 32 90

6.2. Y=(110 100 100)

I II III IV V

A 15 26 25 30 96 B 10 15 40 23 88 

C 2 26 30 32 90 6.10. Y=(130 120 110) 

I II III IV V 

A 10 16 50 20 96 B 8 10 60 23 101 

C 2 26 30 32 90 7. Оформити звіт.

65 

Змістовий модуль ІІ . Алгоритми та методи інтерполяції. Чисельне  диференціювання і інтегрування 

Лабораторна робота №5 

Тема: Апроксимація функцій методом найменших квадратів Мета: навчитися будувати криві методом найменших квадратів за допомогою  побудови псевдообернених матриць. 

Теоретичні відомості 

Нехай ми маємо набір експериментальних точок (xi, yi), i = 1, 2, …, m, при чому  xi xj при i j і значення yi містять помилки виміру. Ми хочемо через дані точки  провести криву F (x), яка є лінійною комбінацією заздалегідь вибраних базисних  функцій fj(x), j = 1, 2, …, n. Другими словами, 

( ) ( ) 

j j F x c f x

 


Як правило, n << m. Коефіцієнти cj необхідно визначити, вибравши певний  критерій для порівняння функцій. Розглянемо критерій, званий методом  найменших квадратів. Побудуємо матрицю значень базисних функцій в заданих  точках 

( ) ( ) ( ) 

f x f x f x 

 

⎜⎜⎜⎜⎛ 

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎞ 

1 1 2 1 

n n 

( ) ( ) ( ) f x f x f x 

1 2 2 2 

 

n n 


    f x f x f x 

1 2 

 

m m n m 

Матриця А, як правило, не буде квадратною матрицею. Нехай с – вектор з п  шуканих коефіцієнтів. Тоді можна побудувати вектор з m значень, через які  проходить дана крива: 

⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎞ 

⎜⎜⎜⎜⎛ 

( ) ( ) ( ) f x f x f x  

⎟⎟⎟⎟⎟⎞ 

⎜⎜⎜⎜⎛ 

( ) 

F x 

1 1 2 1 

n n 

( )⎟⎟⎟

y A c  

( ) ( ) ( ) 

f x f x f x  

( ) 

F x 

*

= = 

1 2 2 2 

n n 

 


    ( ) ( ) ( ) 

f x f x f x 

F x 

1 2 

 


m m n m 


Зробимо так, щоб коефіцієнти вектора c визначалися мінімумом «відстані» між  векторами y і у*, тобто щоб була виконана умова 

* 2 → 

( ) min 

y y(1)



66 

(звідси і назва метода).  

Як правило, в літературі виводяться формули для випадку лінійного і  квадратичного наближення. Слідуючим, ми розглянемо більш загальний алгоритм,  придатний для будь-якого вибору базисних функцій. 

Щоб знайти мінімум функції (1), необхідно продиференціювати її по всім  змінним ск і прирівняти відповідні похідні нулю. Тоді ми отримаємо систему  рівнянь, яку можна записати у вигляді 

⎛ 

⎞ 

∑ ∑  

aijcjy a , к = 1, 2, …, п. 2 0 

= = 1 1

i ik 


Цю систему із п рівнянь можна записати у вигляді матричного рівняння (Ас у)ТА = 0, 

яке еквівалентно рівнянню 

АТс у) = 0, 

чи 

АТАс = АТу. (3) 

Отримане рівняння в математичній статистиці називається нормальним  рівнянням. Очевидно, що матриця АТА є симетричною і, відповідно до теорії  матриць, якщо її стовпці є лінійно незалежними, існує зворотна матриця (АТА)-1.  Тоді рішення системи (3) щодо невідомого вектора с є єдиним і виражається  формулою 

с = ((АТА)-1АТ)у = А+у

Матриця А+= (АТА)-1АТназивається псевдообернению матрицею за аналогією  зворотною матрицею для систем алгебраїчних лінійних рівнянь. 

Приклад побудови наближення виду 

F(x) = c1 + c2xlog2x + c3ex

по точках (1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 8), а також побудований графік функції F (x) і  нанесені вихідні точки. Очевидно, що в якості базисних функцій обрані функції 1,  xlog2x, ex

67

ORIGIN: = 1

f 1(x) : = 1 f 2(x) : = x⋅ log(x, 2) f 3(x) ex : = y113

i : = 1. . 4 xi: = i

: =

⎛⎜⎜⎜

⎞⎟⎟⎟

f 1 x( 1) f 1 x( 2)

f 2 x( 1) f 2 x( 2)

f 3 x( 1) f 3 x( 2)

⎜⎝

8

⎟⎠

: = pinv AT ( ⋅ A)− 1AT

⎛⎜⎜

f 1 x( 3) f 1 x( 4)

f 2 x( 3) f 2 x( 4)

⎞⎟⎟

f 3 x( 3)

: = ⋅

A

⎜ ⎜

f 3 x( 4)

⎜⎝

0.736

0.364

⎟⎠

−0.022

−0.078

pinv

⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠ =

−0.368

c : = pinv ⋅ y 0.041

0.094 −0.022

0.423 −0.061

−0.15 0.042

⎛⎜

0.412

⎞⎟

c

=

⎜⎝

−0.205 ⎟⎠

ytheor(t) c1⋅ f 1(t) c2

: = + ⋅ f 3(t)

0.17

ytheor(t)

yi

Задача.

+ ⋅ f 2(t) c3

5

0

0 2 4 t xi

,

Найти оценки для параметров модели y=β0 + β1x + β2×2.

 

x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 y 0.4 0.3 1.0 1.7 2.1 3.4 4.1 5.8 2.

x 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 y 7.7 9.4 11.4 13.6 15.6 18.6 21.2 24.1

 

x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 y 0.43 0.94 1.91 3.01 4.0 4.56 6.45 8.59 11.15

68

 

x 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0 6.4 6.8 y 13.88 16.93 20.47 24.15 28.29 32.61 37.41 42.39

Найти оценки для параметров модели y=β0 + β1x.

 

x 1 2 3 4 5 6

y 2.11 2.45 2.61 2.73 2.75 2.81

 

x 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8

y 4.39 4.75 4.98 5.11 5.12 5.18

Найти оценки для параметров модели y=β0 + β1exp(0.1 x).

 

x 1 2 3 4 5 6

y 0.1 0.21 0.43 0.51 0.62 0.81

 

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

y 4.11 4.16 4.23 4.29 4.36 4.42 4.53

Найти оценки для параметров модели y=β0 + β1sinx + β2cosx.

 

x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 y 2.47 2.86 3.01 2.91 2.55 2.11 2.61 1.25

Лабораторная работа №6.

Тема: численное дифференцирование.

Цель: Научиться использовать формулы интерполирования (многочлена Лагранжа и Ньютона) для нахождения первой и второй производных функции, заданной таблично.

Ход работы:

Запустите МаthCad.
Дифференцирование с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. 2.1.Найти первую и вторую производные функции y = ln(x), заданной таблично на отрезке [2; 3], используя формулы Лагранжа

и первую или вторую формулы Ньютона

69

или

соответственно.

Решение.

2.2.Постройте таблицу значений на заданном отрезке (рис. 2.8.1).

Рис. 2.8.1. Ввод данных задачи

2.3.Запишите интерполяцию формулу Лагранжа (1.5.9) при дифференцировании функции с равноудаленными узлами (рис. 2.8.2) .

Рис. 2.8.2. Интерполяционная формула Лагранжа

x (рис. 2.8.3).

2.4.Найдите значение первой производной для заданных значений i

70

Рис. 2.8.3. Вычисление значений производной полинома Лагранжа

2.5.Полученные значения проверьте, используя функцию нахождения первой производной (рис. 2.8.4).

Рис. 2.8.4.

2.6. Графически покажите полученные значения первой производной ( ( )) Prov хіі значения, полученные по інтерполяційною формуле Лагранжа (рис. 2.8.5).

Рис. 2.8.5. Визуализация значений производной, вычисленных по точной формуле и с помощью интерполяционного полинома Лагранжа

71

2.7. Для оценки погрешности необходимо воспользоваться аналитическим выражением таблично заданной функции (рис. 2.8.6).

Рис. 2.8.6. Погрешность по формуле Лагранжа

2.8.Погрешность для интерполяционной формулы Лагранжа вычисляется по формуле, представленной на рис. 2.8.7.

Рис. 2.8.7. Вычисление погрешности

интерполяционной формулы Лагранжа

Здесь Мах_рго — максимальное значение (n+1)-ой производной заданной функции на отрезке [2; 3]. Результат вычисления погрешности представлен на рис. 2.8.8..

Рис. 2.8.8. Погрешность вычислений

2.9.Постройте график полученных значений погрешностей для характеристики вычислительного процесса (рис. 2.8.9).

Рис. 2.8.9. Зависимость погрешности от номера шага итерационного процесса

72

Зависимость шага от полученного значения погрешности показывает, что на концах отрезка значения производной отличаются больше, чем в середине. Значит, в середине отрезка значения получили более точно.

Задание к лабораторной работе № 6.

Вычислить значение первой производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, и оценить погрешности методов. Составить функцию, позволяющую находить значения первой производной в данных точках х, и в любой промежуточной точке.

73

74

В отчете к лабораторной работе № 6 ответьте на вопросы по теме:
В каких случаях используют численное дифференцирование? 2. В чем особенность задачи численного дифференцирования? 3. Графическая интерпретация численного дифференцирования.
Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов. 5. Формула численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Лагранжа.
Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа.
Формула численного дифференцирования на основе интерполяционных формул Ньютона.
Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формулам Ньютона.
Как влияет на точность численного дифференцирования величина шага h?

Лабораторная работа №7

Тема: интегральное исчисление в MathCAD

Цель: научиться выполнять вычисления неопределенных и определенных интегралов в MathCad различными способами.

Задачи и порядок выполнения

75

Задание 1.

Вычислите неопределенный интеграл ∫f (x)dxі проверьте правильность вычислений; постройте графики семейства первообразных.

Порядок выполнения задания

Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите подинтегральную функцию как функцию переменной x .
Найдите первообразную, используя символьную математику пакета. 4. Определите первообразную, как функцию переменной.
Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.
Упростите производную от первообразной, сравните результаты с подынтегральной функцией.
Постройте на одном графике изображения первобытных. N f (x) N f (x)

11 

1 cos


2x

sin (1 cos ) 

1 cos sin + + 

x x 

12 

cos sin 

x x 

sin 


(1 sin ) 

1 cos sin + + 

x x 

13 

cos 


sin (1 sin ) x

1 cos sin + + 

x x 

cos 

14 

cos 


4 4cos

1 cos sin + − 

x x 

cos 

15 

cos 


1 sin cos + − 

x x 

( )2 1 cos sin + + 

x x 

cos 

16 

sin 


2 sin

(1 sin ) 

cos 

17 

sin 


(1 cos ) 

( )2 


− 

1 cos sin + − 

x x 

cos (1 cos ) 

18 

sin 


x x

19 

( )2 1 cos sin + + 

x x 

sin (1 sin ) 

x +

10 

(1 sin cos ) 

+ x

+20 

1 sin 

sin 


dx

2 − + 2 

x x 

1 sin cos 

+ − 

x x 

Пример выполнения задания

2 sin


76 

: = 

f(x)

2 x2 

⋅ − x +

asinh41 51 51

⌠⎮d122 f(x) x 

1 2 

⎡⎢⎢⎤⎥⎥x1

⎛⎜⎞⎟⎠ 

→ ⋅ 

⋅ 

− 

: = ⋅ 

asinh41 51 51

F(x)12

1 2 

⎡⎢⎢⎤⎥⎥⎛⎜⎞⎟⎠ 

x1

⋅ 

2 1 512 1 

− 

d

6 0 6 0 x2 ( + ⋅ − 3 0x)1

xF(x) 

→ ⋅ 

10 

F(x) 

F(x)5 F(x)10 F(x)+

10 5 0 5 10 10 

20 

Завдання 2

Для заданої функції f (x)досліджуйте поведінку інтегральних сум на заданому відрізку інтегрування [a,b], розбиваючи відрізок інтегрування на рівні частини. Обчисліть визначений інтеграл і порівняйте його значення зі значеннями між інтегральних сум.

Порядок виконання

Встановіть режим автоматичних обчислень і режим відображення результатів по горизонталі.
Визначте підінтегральну функцію як функцію змінної ХІ побудуйте її графік.
Обчисліть визначений інтеграл.
Запишіть вираз для інтегральної суми, отріманої при розбитті відрізка інтегрування на рівні частини, коли значення функції обчислюється в лівому кінці відрізка розбиття. Знайдіть її межа при числі відрізків, що прагне до нескінченності.
Запишіть вираз для інтегральної суми, отріманої при розбитті відрізка інтегрування на рівні частини, коли значення функції обчислюється в

77

правому кінці відрізка розбиття. Знайдіть її межу при числі відрізків, що прагне до нескінченності.

Запишіть вираз для інтегральної суми, отріманої при розбитті відрізка інтегрування на рівні частини, коли значення функції обчислюється в середині відрізка розбиття. Знайдіть її межу при числі відрізків, що прагне до нескінченності.
Порівняйте отримані значення меж між собою і зі значеннями інтеграла. 8. Побудуйте графіки інтегральних сум як функцій числа розбиття відрізка інтегрування.
Побудуйте графіки інтегральних сум як функцій довжини відрізка розбиття. N f (x) [a,b] N f (x) [a,b] x − [0,3]118 7

19 2

x − x + [1,5]

2

x − [2,3]

x − [−1,1]129 / 4

21 2

2

x + x + [− 2,2]

3(x −1)(x + 3) [− 3,1]134 4

2

4(x +1)(x + 3) [− 2,0]144 4 x − x + [2,4]

2

x − x + [2,4]1516 2

53 2 2

x − [0,4] x − [− 0.5,0.5]

x + x + [−1,3]160.25 2 63 2

2

x − [− 0.4,0.6]17100 2

70.16 2

x − [5,10]

x − x − [− 3,1]18(x +1)(x − 3) [−1,3] 82

2

9(x − 7)(x −1) [1,7]19(x −1)(x − 3) [1,4] 10(x + 7)(x −1) [− 7,1]205 4

x + x − [1,3]

2

Приклад виконання завдання

5

∫+

(2x 1)dx1

78

f(x) : = 2x + 1 a : = 1 b : = 5 ⌠⎮⌡d → 2 8

5

f(x) x

: = ⋅(5 − 1) 1

f(x) 5

Sf(1) + f(5)

S = 2 8

2

2 4 x

Çíà÷åíèÿ ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âû÷èñëÿþòñÿ â ëåâûõ êîíöàõ : =

îòðåçêîâ

N−1

⎛⎜⎝⎞⎟ ∑ ⎠

⎛⎜⎝⎞⎟⎠b − a

→ 2 8

Sl(N)

f a ib − a

: =

i

=

0

+ ⋅

N

N

lim Sl(N) N ∞

→ 2 8

Çíà÷åíèÿ ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âû÷èñëÿþòñÿ â ïðàâûõ êîíöàõ îòðåçêîâ

N

⎡⎢⎣⎤⎥ ∑ ⎦

⎡⎢⎣⎤⎥⎦b − a

Sr(N)

f a (i + 1)b − a

i

=

+ ⋅

0

N

N

lim Sr(N) N ∞

Çíà÷åíèÿ ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âû÷èñëÿþòñÿ â ñåðåäèíàõ : =

îòðåçêîâ

N

⎡⎢⎣⎤⎥ ∑ ⎦

⎡⎢⎣⎤⎥⎦b − a

⎛⎜⎝⎞⎟⎠b − a

→ 2 8

Sm(N)

i

0

=

f a i12

+ ⋅

+

N

N

lim Sm(N) N ∞

Завдання 3

Обчислить визначений інтеграл ∫b a

допомогою заміни змінної.

f (x)dxза вказаним відрізком безпосередньо і за

Порядок викоання роботи

Встановіть режим автоматичних обчислень і режим відображення результатів по горизонталі.
Визначте підінтегральну функцію як функцію змінної x . 1. Знайдіть визначений інтеграл символьно.
Введіть вираз для нової змінної tяк функції від x .
Обчисліть нові межі інтегрування по t .
Виразіть змінну хчерез t, вирішивши рівняння ϕ − x) – t = 0. 5. Знайдіть символьну похідну хпо t .
Скопіюйте в буфері обміну вираз для хчерез і виконайте символьно заміну змінної в підінтегральної функції t .
Спростіть підінтегральну функцію.
Запишіть і спростіть нову підінтегральну функцію, яка виходить множенням виразу, отриманого в попередньому пункті, на похідну хпо t .

79

Обчисліть визначений інтеграл, інтегруючи отриману функцію по tпо відрізку, знайденому в п. 4.

N f (x) [a,b] N f (x) [a,b]

256− x[0,16]11( )3 2 2

[0,4 3]

12

1

64

− x

x 1− x[0,1]12

[0,2 2]

22 2

x

4

3

1

( )2 2

[0,5]13

( )3 2 2 64 x

1

( )3 2 2

[0, 3]

1

25 25

+ x + x

x [3,5]14

4

+ x

9 2

x [6,9]

2

2 21

x

5

6

x

x [8,12]

0,1514

1

− x⎥⎦⎤

⎢⎣⎡25

6

( )3 2 2

5

x

6

x [6,10]

x

0,1612

4

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡22

( )3 2 2

1 x

4

x

⎜⎜⎝⎛+−[0,4]17( )3 2 2 7

[0,3]

exp

4 4

x x

⎟⎟⎠⎞

9

1

+ x

2

(4 ) 16

+ −

x x

4− x[0,2]18 82

x 16 − x[0,4]19

− + [1,64] 1 2

x x

6 3

3 3 4

x x x

+ +

2

⎜⎜⎝⎛+−[0,3]

92 2

exp

3 3

x x

⎟⎟⎠⎞

2

(3 ) 9

+ −

x x

x 25− x[0,5]20

[0,1]

102 2

x

4

π 4

( )3 2 2

2 x

Приклад виконання завдання

1

∫⋅ +

0cos (1 cos ) x x

dx

80