КрНУ

Інформаційний портал – Коледжу Кременчуцького національного університету імені Михайла Остроградського!

Методические рекомендации к проведению лабораторных работ по дисциплине

Колледж

Кременчугского национального университета Имени Михаила Остроградского

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

к проведение лабораторных работ по дисциплине

____________Алгоритмы и методы вычислений______________ ( название учебной дисциплины)

специальность ____123 – Компьютерная инженерия _____________________ (шифр и название направления подготовки)

специализация___Обслуживание компьютерных систем и сетей________ (шифр и название специальности)

квалификация___________техник-программист__________________________ (название специализации)

отделение_____Компьютерных сетей и электрооборудования техники______ (название института, факультета, отделение)

Кременчуг 2017 г.

Методические рекомендации к проведению практических работ по дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов специальности 5.05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей»

Составитель: Л. М. Шинкаренко

Рассмотрены на заседании цикловой комиссии электробытовой техники -31‖ августа 2017г. Председатель цикловой комиссии ________ Сек.И. Почтовюк.

Утвержден методической советом колледжа протокол № 1 от -31‖ августа 2017г. Председатель совета ____________ Г.В. Левченко.

Содержание.

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ И. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ, АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ РІВНЯНЬ……………………………………………………………………………………..4

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №1. ………………………………………………………………………………………………………………………………4 ТЕМА: ТЕОРІЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ……………………………………………………………………………………………………………4 ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №2. …………………………………………………………………………………………………………………………….20 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………………………………………………………..20 ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №3. …………………………………………………………………………………………………………………………….29 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯОБЯЗАТЕЛЬСТВА СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………………………………………………………………29 ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №4. …………………………………………………………………………………………………………………………….46 ТЕМА: ГОЗВОБЯЗАТЕЛЬСТВА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЕ………………………………………………………………………………..46

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ II . АЛГОРИТМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ІНТЕГРУВАННЯ…………………………………………………………………………………………………..66

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №5 ……………………………………………………………………………………………………………………………..66 ТЕМА: АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ Самых МАЛЕНЬКИХ КВАДРАТОВ…………………………………………………………………66 ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №6. …………………………………………………………………………………………………………………………….69 ТЕМА: ЧИСЕЛЬНЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ……………………………………………………………………………………………………………..69 ЛАБОРАТОРНА РАБОТА №7 ……………………………………………………………………………………………………………………………..75 ТЕМА: ИНТЕГРАЛЬНЕ СЧИСЛЕНИЯ В MATHCAD …………………………………………………………………………………………………..75

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ III. РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ………..85

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА № 8 …………………………………………………………………………………………………………………………….85 ТЕМА: ГРЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ……………………………………………………………………………………………………85

3

Содержательный модуль И. Методы решения трансцендентных, алгебраических уравнений и систем линейных и нелинейных уравнений

Лабораторная работа №1.

Тема: Теория приближенных вычислений.

Цель: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, решения обратной задачи теории погрешностей и нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции.

Ход работы:

1. Запустите МаthCad.

2. Абсолютная и относительная погрешности.

2.1.Если х=0,00006, а х*=0,00005, найти: eи δx.

2.2.Если х=100500, а х*=100000, найти: eи δx..

2.3.Используя Маthcad найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел х=984,6 и х=2,364, если они имеют только верные цифры: а) в строгом смысле, б) в широком смысле.

2.4.Задан число х = 2,3644 и относительная погрешностьх δ=0,07%. Определить количество верных цифр числа по относительной погрешности.

2.5. Решение.

х δ= 0,0007 <10-3, значит, число х имеет по крайней мере две цифры, верных в строгом смысле. Вычислим:Δх 24,3070,0007 0,01701490,05.

4

То есть, в строгом смысле действительно верные цифры 2 и 3.

2.6.Пусть х =984,6, х δ=0,008. Определить количество верных цифр в числе х.

Решение.

Очевидно, что 0,008 <0,01=2

10. Это означает, что число х имеет, по крайней мере, одну

верную в строгом смысле цифру (цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле. Вычислимех984,6 ⋅ 0,008 7,8768 .Полученная абсолютная погрешность не превышает половину единицы разряда сотен. Откуда следует, что цифра 9 действительно верная в строгом смысле, как за относительной погрешности, так и по абсолютной. 2.7.Пусть х = 24,307, х δ= 0,005 %. Определить все верные цифры числа.

Решение.

= = ⋅ δ х, значит, в х, по крайней мере, четыре цифры верны в строгом

0,00005 0,5 10  4

смысле. ВычислимΔх 24,3070,00005 0,001215350,005. То есть верными цифрами будут цифры 2, 4, 3, 0.

2.8.Дано число х = 24,010. Цифры верны в строгом смысле. Указать пределы его абсолютной и относительной погрешности.

Решение.

С определение цифры, верной в строгом смысле, можно заключить, что абсолютная погрешность числа х не превышает половины единицы разряда тысячных. Значит ех =0,0005.

Относительную погрешность найдем по формуле:

ех

0,0005 2

δ х= = = ⋅ = ⋅

х

24,010

0,2 10 0,2 10 %

2.9.При взвешивании двух грузов получили следующие значение их масс х=0,5 кг, в=50 кг. Считая абсолютную погрешность взвешивания равна 1 г, определить относительную погрешность измерение масс тел х, у. Которое с тел взвешенно более точно?

Решение.

Относительную погрешность найдем по формулам:

ех

0,001 3

δ х%

= = = ⋅ =

х

0,5

0,2 10 0,2

ев

0,001 5

δ в%

= = = ⋅ =

в

50

0,2 10 0,002

Более точно измеренный груз весом 50 кг.

3. Погрешность округленного числа.

3.1.Округляя число х=1,1426 к четырех значимых цифр, определить аб солютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верные в широком смысле.

Решение.

5

Округлим число х до четырех значащих цифр: 1

х=1,143.

За определением верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность ех0,0001 .

Погрешность округленного числа равна сумме погрешности выходного числа и погрешности округление:

Δокр1,1431,1426 0,0004;

ех0,0004 0,0001 0,0005;

ех

0,0005

δ х= = = <

х

1,143

0,000437 0,04%

3.2.Число х, все цифры которого верные в строгом смысле, округлить до трех значимых цифр. Для полученного результата вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности х=1,1426. Решить в МаthCad.

Решение:

3.3.Со сколькими верными в строгом смысле десятичными знаками после комы надо взять:

а)19,35;

б) sin(0,9);

в) 17,51;

г) ln(1,25) , чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.

Решение.

а) 19,35 4,3931765

6

Относительная погрешность 3

δ х ≤ =. Значит, число 19,35 , по крайней мере, имеет две верные

0,001 10 

в строгом смысле цифры.

х .

4,3931765 10 0,0049 0,005 Δ = ⋅ = <

Итак, цифры 4 и 3 действительно верны в строгом смысле, потому правильная ответ 19,35 ≈ 4,39.

б) sin(0,9)=0,7833269;

Относительная погрешность3

δ х ≤ =. Значит, число sin(0,9), по крайней мере, имеет две

0,001 10 

верные в строгом смысле цифры.

х . Итак, цифры 5, 7 и 3 действительно верные в строгом 0,7833269 10 0,000733 0,0005 Δ = ⋅ = >

смысле, поэтому правильная ответ sin(0,9)=0,783.

1=

в) 0,0571429

1,75

Относительная погрешность 3

δ х ≤ = . Значит, число, по крайней мере, имеет две верные в

0,001 10 

строгом значении цифры. 0,571429 10 0,000057 0,00005 Δ = ⋅ = >

х . Итак, цифры 5 и 7

верные в строгом смысле, потому правильная ответ: 0,057.

г)1n (1,25) = 0,223144.

Относительная погрешность3

δ х ≤ =. Значит, число 1n (1,25), по крайней мере, имеет две верные

0,001 10 

в строгом смысле цифры.

. Следовательно, цифры 2, 2, 3, 1 действительно верные в строгом 0,22314 10 0,00022 0,0005 Δ = ⋅ = <

смысле, поэтому правильная ответ 1n (1,25) = 0,2231.х 7,12 ± 0,01в 8,27 ± 0,014. Погрешности арифметических действий.

Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых дано. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.

х 7,12 ± 0,01в 8,27 ± 0,01

Решение.

Найдем сумму этих чисел х + в = 7,12 + 8,27 = 15,39.

Для определение количества верных цифр найдем абсолютную погрешность суммы ехв0,01 0,01 0,02 , Это число показывает, что в числе 15,39 верными будут цифры до разряда десятых, то есть цифры 1, 5 и 3. И поскольку мы отвергаем число 9 больше пяти, то результат добавление будет 15,4.

За относительной погрешности можно получить более суровую оценку количества верных цифр: 0,01 δ х= = .

0,01 δ х= =и 0,0012

7,12

Тогда:

7,12

0,0014

8,27 0,0014

8,27

-2

= ⋅ + ⋅ = < ⋅ δ хв

15,39

15,39

0,0012 0,0012 0,5 10

То есть в числе 15,39 цифры 1, 5 верны в строгом смысле. Ответ: 15.

7

4.1.. Найти разницу чисел, цифры которых верные в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную

х = 13,876, у = 11,82.

Решение.

Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превышают единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра числа. Поэтомуех0,0005 ев0,005 .

Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:

0,0005 δ х= =;

13,876

0,005 δ в= = 11,82

0,00004 0,0004

Найдем разницу чисел х-у-13,876-11,82 = 2,056.

Найдем абсолютную погрешность полученной разницы. Она будет равна: ех− в0,0005 0,005 0,0055 0,05 .

То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.

Найдем относительную погрешность разницы. Она будет равна:

13,876

11,82 0,00004

-2

= ⋅ + ⋅ = ≤ ⋅ δ х− в

2,056

2,056

0,0004 0,0025 0,5 10

Действительно, первые две цифры верные в числе 2,056.

Ответ: 2,06.

5. Погрешности элементарных функций.

5.1.Выходные числовые значения аргумента заданные цифрами, верными строгому смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) соѕ(0,47);

б)3,1

в е;

в) в 21,51;

г) у = 1n (68,214).

Решение.

а) находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента е0,47 0,005 . Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

( ) еcos 0,47 sin(0,470,005 0,00226443;

( ) ( )2

cos 0,47 tan 0,47 0,005 0,00253983 0,005 0,5 10

δ = ⋅ = ≤ = ⋅

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 0,892.

8

б) находим значение величины в . Оно будет равна 0,0450492. Абсолютная погрешность аргументаев0,05 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины в уровне:0,05 0,0225246 3,1

е е в

= ⋅ =

0,05 0,5 10

1

= = ⋅ δ в

Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле. Ответ: 0,04.

в) Находим значение величины в . Оно будет равна 4,6378875. Абсолютная погрешность аргументаев0,005 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины в равны:

0,005 

е;

3

= = ⋅

в

21,51

1,078077 10

Это означает, что в числе 4,6378875 три цифры после запятой верны в строгом смысле. Ответ: 4,6378.

г) Находим значение величины в . Оно будет равна 4,2226498 Абсолютная погрешность аргументаев0,0005 . Тогда абсолютные и относительные погрешности величины в равны:

0,0005  6

е

= = ⋅

в

68,234

7,3298736 10

0,0005 − − δ в.

6 5

= ⋅ < ⋅

( )

68,214 ln 68,214 

1,7358469 10 0.5 10

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

5.2.Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции:

Аln+

a b

=, если а=12,34, b=14,3.

(a)

Решение.

При пооперационном строгом учете промежуточные ошибок результаты после округления к одной запасной (с учетом исчисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл.

Аln+

a b

Расчетная таблица для вычисления погрешности выражения (a)

=

а bа b а bln(a) b+ln(a) A 12,34 14,3 3,513 3,78 7,30 2,5129 16,81 0,434

еb

e+(eln (+ln A

е b

еa b

e

еa

а

0,005 0,05 0,00071 0,0066 0,0073 0,0004 0,05041 0,0017

Значение погрешностей для удобства округлим до двух значимых цифр по избытку и тоже занесем в таблицу. Цифры представленные верными в строгом смысле, значит, ea0,005 е0,05 .

9

Найдем 12,34 3,51283. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. выше):

еа=

0,005= ≈

2 12,34 

0,0007117 0,00071

С полученного значение погрешности видно, что в результате верные две значимые цифры после запятой, то есть12,34 3,51283≈ 3,513.

Это число внесем в таблицу.найдем абсолютную погрешность14,3= 3,781534. 0,05= ≈

Она будет равняться0,0066107 0,0066

е=

2 14,3 

Итак, в числе b будет одна верная цифра после запятые. Аналогично, находим значение всех других действия и функции:

е

аb

0,000710,0066 0,00731≈ 0,0073 0,005

еln a= = ≤

( ) 0,000405 0,0005 12,34

еb+ln(a0,05 0,00045 0,050405 ≤ 0,5 16,8 0,0073 7,30 0,05

еА =

⋅ + ⋅

0,8764

16,8

2= = 282,24

0,0017

Округляя результат А к верной цифры, получаем окончательную ответ. Ответ: А = 0,434 ±0,002.

6. Способ границ. Способ границ используется для точного определение границ искомого значение функции, если известны пределы измерения аргументов. 6.1.Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d=(3± 0,001) см и высотой

h=(10±0,002) см весит р=(95,5±0,001) г. Определить удельный вес у алюминия и оценить предельную абсолютную погрешность найденного удельного веса. Решение.

Один способ.

π

d

2

Объем цилиндра равен: ,

V4

p

4

p

Отсюда d h γ = = .

V

π

2

С полученной формулы следует, что в области г>0, d>0, h>0 функцияγ – растущая по аргумента г и что убывает по аргументах и h.

Имеем:

2,999 <d<3,001;

9,998 < h < 10,002;

95,499<г< 95,501;

3,14159<π<3,1416.

Тогда значение в получим:

4 95,499г см

γ =(нижняя граница)

3

21,350 /

3,1416 3,001 10,002

⋅ ⋅

10

4 95,501г см

γ =(верхняя граница)

3

21,352 /

3,14159 2,999 9,998

⋅ ⋅

Взяв среднее арифметическое, получим значение, равное в = (1,351 ±0,002) г/см3Ответ: в = (1,351 ±0,002) г/см3.

Два способ.

Используя средние значения аргументов, получим:

4 95,5г см

γ =

3,1416 3 10 ⋅ ⋅

21,351 /

3

Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем: ln γ = ln 4 ln − lnπ − 2ln − ln h. Взяв полный дифференциал, получим:

Δ 2

γ.

Δ

Δ

=

Δ

π

Δ

d

h

γ

p

π

d

h

0.001 2

0.00001

δ γ= δ +δ π + δ +δ = + +

2 0.001 

0.002

4

+ = ⋅

Далее находим:

95.5

3.1416

3

10

8.803 10

8.803 10 1.351 1.2 10 − −

4 3

Δ = δ ⋅γ = ⋅ ⋅ = ⋅

γ γ.

Таким образом, имеем:

в = (1,351 ± 0,001) г/см3,

что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способом границ. Ответ: в = (1,351 ±0,001) г/см3.

6.2.Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления объема шара по

1

3

выражению

Решение.

= πd, если d= 3,7±0,05 см, а π= 3,14. 6

Рассматривая и как переменные величины, вычисляем частные производные πd

V 1 3

π

= ⋅ = 6

8,44

ρ V 1 3

π

= ⋅ ⋅ = 6

21,5

Используя формулу для вычисления погрешности функции, которая зависит от двух переменных:

f

f

Δ =Δ Δ +

x

x

y

y

Находим предельную абсолютную погрешность объема:

V V

π.

Δ = π

3 3

V⋅ Δ = ⋅ + ⋅ = + = ≈

⋅ Δ + 1

8,44 0,0016 21,5 0,05 0,013 1,075 1,088 см1,1см d

Поэтому, ( ) = ⋅π ⋅ ≈ ± см 3 3

6

26,5 1,1

Отсюда предельная относительная погрешность определения объема: 3

см δ .

1,088

V= = ≈

26,5

см

3

0,041 4%

11

ОтветΔ V1,1см δ V4% .

6.3.Для определение модуля Юнга Е на прогиб стержня прямоугольного сечения

1

l

3

p

Е 3

= ⋅, где l – длина стержня; а и b –

4

применяется формула bs

a

измерение поперечного сечения стрежня; s – стрела прогиба; р – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга E, если р=20 кг; δ г0,1%, а=3 мм; δ а1%; b=44 мм; δ 1%; l=50 см; δ 1%; s=2,5 см; δ s1% .

Решение.

ln 3ln ln − 3ln − ln − ln − ln 4.

Отсюда, заменяя увеличение дифференциалами, будем иметь:

Δ3 3

E.Итак,

Δ

Δ Δ

=

+

p

Δ

a

Δ

b

s

E

l

p

a

b

s

δ E3δ + δ 3δ + δ + δ s3⋅ 0,01 0,001 3⋅ 0,01 0,01 0,01 ≈ 0,081 .

Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, то есть примерно 8% от измеряемой величины.

Ответδ Е ≈ 8%.

6.4.Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и с с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.

z++

a b

а:=12,34; b:=14,3

(a)

ln

Решение.

Алгоритм развязку представлен на рисунках, приведенных ниже:

12

7. Обратная задача теории погрешностей.

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: которые должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Δизадана.

n

Тогда Δ =

и.

их

i 1 =

х

и

и

Δ

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь: и Δ

.

Δ = х

и

Δ = =

и

х

1

1

х

2

2

х

….

n

х

Δ =

x

n

и

n

13

Отсюда

Δ

иΔ =

хи

n

u

xi

В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов i xодна и та же, то:

Δ

Δ =

х

Δ

и и

Δ =n

x.

xи

i

и

i

n

и

х

j

х

i 1 и

х

j 1 j

7.1.Радиус основы цилиндра ≈ м; высота цилиндра Н ≈ 3м . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и Н, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м3?

Решение.

Объем исчисляется по формуле H

= πRи ΔV0,1м . Подставляя все выходные

данные, получим приближенно:

RH

R H

12 2

V= =

R

π2 37,7

2

= =

Rπ12,6 Hπ .

= =

Отсюда, т. к. п = 3, то, воспользовавшись формуле для вычисления погрешности функции, которая зависит от трех переменных:

f

f

f

Δ = Δ Δ +

x

x

y

Δ + y

z

z

Будем мать: 0,1<

0,1<

0,1<

Δπ=0,001

0,003

ΔR=0,003

3 12 

3 37,7 

Δ H=

3 12,6 

Таблица Погрешности значений элементарных функций.

14

8. Задания к лабораторной работы № 1:

8.1.Задачи (самостоятельно).Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (таблица вариантов задачи). а) в строгом смысле; б) в широком понимании.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

15

8.2.Задачи для самостоятельной работы. Число х (табл.), все цифры которого верные в строгом смысле, округлить до трех значимых цифр. Для полученного результата х ≈ х 1вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа 1

х , указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

8.3.Вычислить значение величины z (табл) при заданных значениях чисел а , b и с используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ними количество верных цифр в z, если цифры а , b и с верны в строгом смысле.

16

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

17

8.4.Решить следующие задачи, используя метод границ.

18

8.4.1. Длина воздушной трассы между двумя пунктами равна S км. Самолет преодолевает это расстояние за время t ч. Определить пределы средней скорости самолета, если: 4950≤ ≤ 50505,9 ≤ ≤ 6,1.

8.4.2. Электроплитка рассчитана на напряжение 220±10В. Найти сопротивление спирали электроплитки, если известно, что через нее должен пройти ток 5±0,1 А.

8.4.3. Медный брусок имеет объем V м3(0,0064 ≤ 0,0065).Найти его массу, если плотность меди γкг/м3составляет 8899 ≤ γ ≤ 8901.

8.5.Решить следующие задачи, используя общую формулу погрешности. 8.5.1. Удельное электрическое сопротивление ρметалла круглого провода длиной l м с поперечным сечением d мм и сопротивлением R Ом определяется по формуле: d2

π

R

ρ =. Найти ρ , если: l=12,50 ±0,01 м, d=2,00±0,01 мм,

4

l

R=0,068±0,0005 Ом, π=3,141 ±0,001. Определить относительную погрешность ρ . 8.5.2. Вертикальный цилиндрический резервуар, наполнен жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглый отверстие в дне. Диаметр резервуара D=1±0,01 м, высота уровня жидкости H=2±0,02 м, диаметр отверстия дна d=0,03±0,001 м, коэффициент расходы

τ =

D

2

H

μ=0,6 ±0,02. Расчет (в секундах) ведется по формуле: d g

μ

2

2

8.6.Решить следующие задачи, используя обратная задачу теории погрешностей:

8.6.1. С какой точностью надо измерить радиус круга R = 30,5 см и какой количеством значащих цифр следует ограничиться для числа π , чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1%?

8.6.2. Длина сторон прямоугольника равны а ≈ 5м≈ 200м . Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих величин одинакова для обеих сторон, чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Δ1м?

Вопрос по теме

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Как классифицируются виды ошибок?

3. Что означает цифра, верная в строгом, широком смыслах?

4. Как находится погрешность округленного числа?

5. Как определить количество верных цифр при относительной погрешности приближенного числа? 6. Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях? 7. Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций? 8. Как формулируется обратная задача теории погрешности?

9. Которые должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

В каких случаях используется метод границ?

19

Лабораторная работа №2.

Тема: Численные методы решение скалярных уравнений.

Цель: Сформировать у студентов представление о применение уравнений в различных областях деятельности, привить знания о основные этапы решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или другой программного средства для проверки правильности найденного результата.

Ход работы:

1. Запустите МаthCad.

2. Метод половинного деления. Решение в пакете методом половинного деление уравнения х4-11х32+0,1=0

2.1.Отделение корней.

2.2.Задайте функцию f(x) x4Одиннадцать x3

x2x 0.1

2.2.1. Постройте график. x 1 1 10 5

, .. 1

1

f( x)

1 0 1

1

x

2.2.2. Отформатируйте двойным область щелчком вызовите окно и включите нужные опции, показаны на рисунке:

2.3.Напишите функцию половинного деления, ее аргументы f – имя функции, х1, х2 – левая и правая координаты концов отрезка; ε -точность вычисления корня. Для рассмотрения процесса нахождения корня уравнения в динамике необходимо сохранить значение корня на каждом шаге вычислительной процедуры и построить зависимость значение корня от номера шага. При написании используйте панель программирования:

20

Programming

Palette

Div2(fx1x2, ε ) L x2 x1

while L> ε

cx1 x2

2

x2 c f( c) f(x1) if Ноль x1 c otherwise

L x2 x1

c

И проверьте найденное значение.

q Div2 f0.20.7 10 6

,

0.394

f( q) 1.00110 6

=

2.4.Напишите функцию, которая возвращает значение корня на каждом шаге метода половинного деление

Div2I(fx1x2, ε ) L x2 x1

i 0

while L> ε

c( x2 x1)

2

x2 c f( c) f( x1) if 0

x1 c otherwise

L x2 x1

Ri0i

Ri1c

i i 1

R

Вычислите матрицу, первый столбец которой содержит номер итерации, второй – значение корня:

21

Q Div2I f0.31 10 5

,

Q

=

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

0 1

2 0.387 3 0.431 4 0.409 5 0.398 6 0.393 7 0.396 8 0.394 9 0.394 10 0.394 11 0.394 12 0.394 13 0.394 14 0.394 15 0.394 16 0.394

2.5.Сделайте визуализацию зависимости значение корня от номера шага вычислительной процедуры:

m 0.. rows(Q) 1

0.8

0.6

Qm1

0.4

0.2

0 5 10 15 20 Qm0

3. Метод простой итерации.

3.1.Задайте функцию: f(x) x4Одиннадцать x3

x2x 0.1

3.2.Задайте функцию в соответствии к виду, пригодному для итерационного процесс, .

где m – отличная от нуля константа. f1(xmf) x m f(x)

3.3.Так как функция должна удовлетворять условиям теоремы о достаточном условия сходимости итерационного процесса. Задайте функцию производной: d

F(xmf1f)xf1(xmf)

d

3.4.Постройте график функции и производной, из которого вы увидите, что условия о достаточный условия сходимости итерационного процесса выполняются на интервале m 0.05

(0,21;08). 1.5

x 0.1 0.1 10 4 , .. 0.8

f 1( x,m,f) F( x,m,f 1,f)

1

0.5

0

0.5

0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

22

3.5.Задайте функцию, что реализует вычислительную схема метода простой итерации на каждом шаге итерационного процесса.

Iter(fx0, ε , q) x0x0

i 0

xif xiq

Один qε while .

xi 1f xi

i i 1

x

3.6.Задайте функцию, что стоит в правой части пункта 3.2

f2( x) f1( xmf)

3.7.Задайте исходное приближение: x0 0.8

3.8.Вычислите значение корня равнение на каждом шагу итерационного процесса: qi Iter f20.8 10 5

, , 0.01

3.9.: Сделайте визуализацию итерационного процесса

Ni last( qi) j 0.. Ni

0.8

0.6

qij

0.4

0.2

Ноль 50 100 j

3.10. Выведите точное значение корняqiNi0.394

3.11. Выполните проверку f qiNi 1.81810 6

=

x

4. Метод хорд. Решите уравнения(2 − x− 0.5 0

с вплоть ε=0,001

4.1.Отделение корня. Используем графический метод. Постройте график функции и найдите точки пересечения ее с осью Ох.

x 43.99.. 5

F(x) (2 x) ex

0.5

4

2

F( x)

4 2 0 2 4 6 2

4

x

23

Получили 2 интервала: (-3;-2) и (1,5;2,5). Интервал на котором мы будем уточнять корень: (1,5;2,5).

4.2.Уточняем корни. Находим первую производную функции: F(x) (2 x) ex

0.5

d

z( x)xF(x)

d

4.3.Определяем знаки. Вычислите значение F(x) на концах интервала (1,5;2,5) F(1.5) 1.741

F(2.5) 6.591

Знаки функции F(1,5)>0 и F(2.5)<0 противоположные, значит, на данном отрезке существует корень уравнения.

4.4.Постройте последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируйте результаты вычисления последовательности значений хn. Для этого рассмотрите значение величины az(хn) – эта величина является критерием достижения заданной точности (ε>8.801·10-4), значит х= 1,927 является решением уравнения.

n 0.. Один 0 a b 2.5 1.5

.

x0xn 1xn

F xnb xn F( b) F xn

az( x)F( x) d

d

F_1pr( x)xF( x) d

d

xF( x)

az xn

0.777

0.283

0.117

0.051

0.022

9.93310 3

.

4.42310 3

.

1.97210 3

.

8.80110 4

.

3.92810 4

.

1.75310 4 .

xn

1.5

1.709 1.823 1.879 1.905 1.917 1.923 1.925 1.926 1.927 1.927

4.5.Создайте функцию, что реализует вычисления корня заданного равнение на

Fhord1( ab, ε ) n 0

azna

заданном отрезке методом хорд. Решением будет число1,927, получилось на 3 F azn

while > ε

F_1pr azn

.

azn 1aznF aznb azn

F( b) F azn

n n 1

n

azn

Fhord1( 1.520.001)31.927

=

шагу решение.

24

4.6.Проверьте решение встроенными функциями MathCad. x 2

x1 root(F( x)x)

x1 1.927

Два функция: панель Symbolic Palette

F(x2) solve x21.9272241673439646537

2.1054665778767432584

Три функция

Given

( 2 x) ex

0.50 0

x2 Find( x)

x21.927

Здесь знак равен берется из панели, а функцию вставьте по помощью команды

25

4.7.Выполните самостоятельно задачи.

1. При расчета воздушного стального проволоки получили уравнения для определение усилия натяжения при ожеледF 433 94,1 10 0

− ⋅ =. Найти положительный корень

3 2 5

(усилия натяжения).

2. При решении вопрос о излучении абсолютно черного тела 1

встречается уравнение:1

u. Решить его. 

e u

= − +

5

1

1

х

3. Решить уравнение 0

х е, которое встречается в задаче о самой выгодной

− =

2

конструкции изоляции для труб.

4. Решить уравнение ( )m

ln u = α + βm>0, встречается в электротехнике.

5. Самая большая скорость воды в трубе круглого сечения достигается тогда, когда центральный угол удовлетворяет уравнению tg(x) = x. Определить этот угол.

6. В задаче о распределение тепла в стержне встречается уравнения tg(x)+ γ. Решить его.

7. При исследовании беспроводной излучателя получено уравнение xtg(xс = const. Для которого малейшего положительного или отрицательного значение х постоянная равна 1.

8. Решить уравнение ( )xp

x

2tg x = − , которое встречается при решении задачи о

p

распространение тепла в стержне при наличии излучения в окружающий пространство.

9. При определении критического нагрузки для балки, свободно опирается одним концом, закрепленной другим и несжимаемой продольной силой, встречается =pp

μ

уравнения μ

tg. Решить его при г =2, полагая, чтоμ = π + .

μ+

10.Площадь кругового сегмента, αдуга которого, определяется формуле, − (αесть радианна мера дуги). Найти сегмент, площадь которого

2

(α sinα)

равна 1/5 площади круга (найти сегмент – значит, найти угловую меру его дуги).

11.Прямоугольная стальная пластинка размерами 150×100 см и толщиной 0,5 см ущемленная по краям и поддается действия равномерно распределенного нагрузки, что равняется 0,25 кг/см2. Стрела прогиба определяется из уравнения =. Найти z, решив данное уравнение (найти корень с четырьмя

3

1,05 0,70 96,4

значимыми цифрами).

12.Шар радиуса R разделить на т частей, равных по объему, путем проведения плоскостей, параллельных между собой (т = 5; т = 10). Отношение Rhнайти с пятью верными десятичными знаками (h – высота шарового слоя).

26

e2

13.Найти корень уравнения x

 с точностью до трех десятичных знаков

+ =

(уравнение такого типа встречаются при изучении колебаний стержня под действием продольного удара).

14.Найти наименьший положительный корень уравнение tg(x) = -0,6 x с тремя верными десятичными знаками (уравнение встречается при изучении теплового режима в стенке) .

tg x− 0,6

5. Найти наименьший положительный корень уравнения ( )x

с тремя верными

десятичными знаками.

x

6. Метод секущих. Решить уравнения(2 − x− 0.5 0

с вплоть ε=0,001

6.1.Отделение корней. Как в пункте 4.1

6.2.Определим неподвижную точку. Для этого определите знаки функции и второй производной на заданном интервале (1,5;2,5). Для этого составим функцию, проверяет условие недвижимости точки.

a 1.5

d

b 2.5

2

F_2pr( x)

d

x2F( x)

nt a F( a) F_2pr( a) if 0

b otherwise

nt 2.5

Тогда неподвижной будет точка а=1,5

6.3.Вычислим значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных.

d

x0a F_1pr( x)xF( x)

di 0.. 10

xi 1xi

xi

1.5

2.277

2.02

1.935

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

1.927

F xi

F_1pr xi

F xi

F_1pr( nt)

0.095

0.175

0.036

2.85410 3

.

2.36710 5

.

1.66910 9

.

0

0

0

0

0

27

Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения значение х4=1,927 при n = 4, т.к. 2,367·10-5<0,001 6.4.Создайте функцию, что реализует метод касательных (аналогично метода хорд, пункт 4.5).

6.5.Проверьте полученный результат встроенными функциями MathCad, пункт 4.6. 6.6.Решить уравнения, приведенные в таблице.

28

Вопрос по теме

1. Что означает решить уравнения?

2. Какие этапы решения уравнения с одной неизвестной многочисленными методами? 3. Которые существуют методы решения уравнения с одной неизвестной? 4. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнения?

5. Суть метода хорд. Графическая интерпретация метода.

6. Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.

7. Суть метода простой итерации.

8. Какое уравнение можно решать методом простой итерации?

9. Которые достаточны условия сходимости итерационного процесса при решении уравнения х= f (Х) на отрезке [a,b], содержащий корень, методом простой итерации? 10. Условие есть критерием достижения заданной точности при решении уравнение х=f (х) методом хорд, касательных, итераций?

11. Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнение методом: хорд, касательных.

12. Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнений методом простой итерации?

Лабораторная работа №3.

Тема: Численные методы решения систем линейных уравнений.

Цель: сформировать у студентов представление о прямые и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать умение составлять и применять алгоритмы и программы для решения систем уравнений, дать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений.

Ход работы:

7. Запустите МаthCad.

8. Метод Гаусса—Жордана.

8.1. Решить систему уравнений методом Гаусса-Жордана с точностью ε = 0,001:

29

х х х

+ + =

2 5 7

1 2 3

2 4 3 6 х х х

+ + = −

1 2 3

4 2 8 х х х

+ + =

1 2 3

Решение с использованием встроенных функций Mathcad:

Введите матрицу коэффициентов при неизвестных А и матрицу свободных членов В:

A

1

2 4

2 4 1

5 3 2

B

7

6

8

Задайте функцию, что реализует метод Гаусса-Жордана. Аргументы функции: А – матрица коэффициентов при неизвестных, В – матрица свободных членов:

S(AB) c augment(AB)

d rref( c)

x submatrix(d0233)

1.694

S(AB)

=

4.49 2.857

8.2. Проверьте решение по помощью встроенных функций Mathcad: 1 – по помощью функции lsolve; 2 – матричный способ;

1.

1.694

=

2.

lsolve(AB)

4.49 2.857

A1.B

=

1.694 4.49 2.857

30

9. Метод Гаусса:

9.1. Функция, переставляет строки матрицы при выявлении в текущем строке нулевого элемента на главной диагонали

Exchange(Ci) k i 1

while 0

Cki

k k 1

for j∈ 0.. rows(C)

s Cij

CijCkj

Ckjs

C

9.2.прямой ход – приведение системы к треугольного вид

Simplex(Ab) N rows(A)

C augment(Ab)

i 0

for i∈ 0.. N 2

i f 0

C Exchange(Ci) Cii for j∈ 0.. N

CiN j

CiN j Cii

for m∈ i 1.. N 1 α Cmi

for j∈ i.. N

.

CmjCmjα Cij

CN 1NCN 1N

CN 1N 1

CN 1N 11

C

31

9.3.обратный ход – нахождение значений неизвестных: Gauss (Ab) C Simplex(Ab)

N rows(A) 1

vNCNN 1

for j∈ 1.. N

vN j1

.

j 1

.

CN jN jCN jN 10

CN jN kvN k

v

k

=

9.4.Задайте матрицу системы и вектора-столбца свободных членов: 9.5.Проверьте правильность работы функции Simplex (прямой ход):

Simplex(Ab)

=

1

0 0 0 0

2 1

0 0 0

3 2 1

0 0

4

3

2.5 1

0

5

4

4

9.333 1

1 0

7.273 6.364 6.667 0.892

9.6.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса (обратный ход): 0.096

1.432

Gauss (Ab)

=

1.353 1.659 0.892

9.7.Решите систему 2.1 методом Гаусса.

10.Метод простой итерации.

х х х

+ + =

2 5 7

10.1. Решите систему линейных уравнений : + + =

1 2 3

2 4 3 6

х х х

+ + = −

1 2 3

4 2 8

х х х

1 2 3

32

10.2. Приведите исходную систему к вида с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого, например, первое уравнение запишите третьих, третье уравнение умножьте на 2, отнимите второе и запишите на первом месте, а второе уравнение умножьте на 2, отнимите первый и запишите на втором месте

6 2 22;

х х х

⎧ 

− + =

1 2 3

3 6 19; х х х

+ + = −

1 2 3

х х х

+ + =

2 5 7.

1 2 3

Коэффициенты, расположены по диагонали и подчеркнуты, являются преобладающими по строке. 10.3. Составьте матрицы коэффициентов при неизвестных в левой части и свободных членов.

A

6 3 1

2

6

2

1

1

5

B

22 19

7

10.4. Получите преобразованную систему: i 0.. Два j 0.. 2

AAij

Aij

AiiBBi

Bi

Aii

AAii0 0

0.333

0.167

3.667

AA

BB

0.5 0.2

0

0.4

0.167 0

=

3.167 1.4

10.5. Получите систему:

х х х

= + −

3,667 0,333 0,1667 ; 

1 2 3 х х х

= − − −

3,167 0,5 0,1667 ;

2 1 3 

х х х

= − −

1,4 0,2 0,4 .

3 1 2

Для обеспечение условий сходимости нужно получить такую систему, чтобы коэффициенты в правой части системы были существенно меньше единицы. 10.6. Проверьте одно из условий сходимости итерационного процесса, для чего установите сходимость, то есть “погрузите” систему в пространство с одной из трех метрик: , , . ρρ ρ 3

В пакете Mathcad коэффициенты сжатия можно определить с помощью функций normi (АА), norml (АА), norme (АА) (в соответствии для: , , . ρρ ρ 3)

33

α 1normi(AA ) α 10.667

α 2norm1(AA )α 20.733

α 3norme(AA ) α 30.785

10.7. или воспользоваться формулам для определение коэффициента сжатия, данным ниже, набирая их учитывайте, что сначала набирается функция

max (), а внутри скобок выберите матрицу 3 строки, 1 столбец и в каждой строке набирайте формулу, значок суммы берем с

max

AAAAAAT

0> < 1> < 2>

0.667 max

( AA ) ( AA ) ( AA )

0> < 1> < 2>

0.733

2

2

AAij2

0.785

i 0 = =

0

j

Заметьте, что все коэффициенты меньше единицы, значит, систему можно “погрузить” в пространство с любой из метрик. Остановимся на пространстве с метрикой ρ 2. Следовательно, итерационный процесс сходится, причем α= 0,733 .

10.8. Найдите критерий достижения заданной точности при решении системы уравнений методом простой итерации. Для достижения точности ε= 0,001 приближения нужно находить до тех пор, пока будет выполняться неравенство k+1, то есть расстояние между двумя соседними приближениями не

k

х x E

− <

должно превышать числа Е.

ε 0.0001

.

Ε

ε α 2 α 2

Ε 3.63610 =

34

k 0.. 1 5

10.9. Вычислите значение итерационной последовательности:

x0BB xk 1BB AA xk.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

x

=

0

3.667 2.378 1.6 1.604 1.685 1.702 1.696 1.694 1.694 1.694 1.694 1.694 1

-3.167-5.233-4.678-4.47 -4.461-4.487-4.492-4.491-4.49 -4.49 -4.49 -4.49 2

1.4 1.933 3.018 2.951 2.867 2.847 2.854 2.858 2.858 2.857 2.857 2.857

10.10. Для определения, какое приближение будет решением, необходимо найти расстояния между двумя соседними приближениями по метрике ρ 2(т. к. выбран этот пространство)

Введите формулу и поставьте равна:

xk 1>0xk>0xk 1>1xk>1xk 1>2xk>2

3.889

2.418

0.279

0.174

7.6521 0 3

0.063

0.018

9.7981 0 4

.

6.9841 0 4

.

2.3061 0 4

.

6.7751 0 5

.

3.0331 0 5

.

3.8341 0 6

.

2.7071 0 6

.

9.0581 0 7

.

2.6231 0 7

.

.

Полученное десятый значения суммы модулей разниц коэффициентов при неизвестных, ровно 2,306 10 E

удовлетворяет условию критерия. Это означает, что в

4

⋅ <

таблицы значений х девятый столбец решением системы уравнений методом простой итерации,.

10.11. Визуализируйте полученные значения, построив график:

35

x<k>x<k>x<k>2

4

2

0

2

4

6

Ноль 5 10 15 k

Графики показывают, что, начиная с к=10, все три линии перестают преломляться, а значит, десятого приближение будет решением системы уравнений методом простой итерации.

⎜⎜

Ответ: решением системы есть вектор-столбец

1,1694 ⎟⎟

, полученный на

=

десятом шаге итерации.

11.Метод Зейделя.

– 4,49 2,857

12.Решить систему линейных уравнений методом Зейделя с точностью ε= 0,001: х х х

+ + =

2 5 7

1 2 3

2 4 3 6 х х х

+ + = −

1 2 3

4 2 8 х х х

+ + =

1 2 3

12.1. Введите матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов.

⎜⎜

1

2

5

⎟⎟

⎜⎜

7

⎟⎟

А ,

В .

=

2

4

3

= −

6

4

1

2

8

12.2. Задайте функцию, что выполняет последовательно:

✔ приведение системы к нормального вида;

✔ приведение нормальной системы к виду, пригодному для итерационного процесса Зейделя;

✔ реализация итерационного процесса Зейделя. Аргументы функции: А – матрица исходной системы, B – вектор-столбец свободных членов, ε – точность решения. Функция возвращает решение системы и его погрешность.

Замечания: При наборе оператора if: if, сделайте слева команду Add Line дважды и получите

36

Zeidel(AB, ε ) N rows(A) 1 C AT.A

D AT.B

for i∈ 0.. N

D1i

Di

Cii

d0iD1i

d1iD1i

for i∈ 0.. N

for j∈ 0.. N

C1ijНоль if i j

C1ij

Flag 0

R0d0

k 1

while Flag 0

Cij

Ciiotherwise

for i∈ 0.. N N

tmp

.

C1ijd1j

D1i

j

=

0

d1itmp

Rkd1

s RkRk 1 if s < ε

Flag 1

Rf d1

d0 d1

k k 1

Rf

s

12.3. Решите систему, используя эту функцию:

37

X Zeidel AB 10 3 ,

{3,1}

X

=

8.98410 1.693

X0

=

4.488 2.857

X18.98410 4

=

12.4. Проверьте решение:

Z A1.B

1.694

Z

=

4.49 2.857

13.Метод Гаусса – Зейделя. Відладнайте программы и проверьте их решение на примерах, выданных преподавателем.

13.1. Пример реализация на С + +

// Условие окончания

bool converge(double *xk, double *xkp)

{ for (int 0ni++)

{

if (fabs(xk[i– xkp[i]) >= eps)

return false;

}

return true;

}

/*

Хог метода, где:

a[n][n] – Матрица коэффициентов

x[n], p[n] – Текущее и предыдущий решения

b[n] – Столбец правых частей

Все перечисленные вещественные массивы и

должны быть определены в основной программе,

также в массив x[n] следует поместить начальное

приближение столбца решений (например, все нули)

*/

do

{ for (int 0ni++)

p[ix[i];

38

for (int 0ni++)

{

double var 0;

for (int 0ij++)

var +(a[i][jx[j]);

for (int 1nj++)

var +(a[i][jp[j]);

x[i(b[i– vara[i][i];

}

}while (!converge(x, p));

13.2. Реализация на Pascal

type ar2d = array [1..501..50of double;

ar1d = array [1..50of double;

procedure seidel(n: byte; eextendedaar2dbar1dxar1d);

var ij: longint;

svmdouble;

begin

// Проверка на совместность

for i := to n do

begin

:= 0;

for j := to n do

if j <> i then s := + abs(a[ij])if s >= abs(a[ii]) then

begin

writeln(‘SLAE is inconsistent’);

exit

end;

end;

// Сам алгоритм

repeat

:= 0;

for i := to n do

begin

:= 0;

for j := to n do

if i <> j then s := a[ijx[j]:= x[i];

x[i:= (b[i– sa[ii];

m:=abs(x[i])-abs(v);

end;

until m < e;

// Вывод корней

writeln(‘roots: ‘);

for i := to n do

writeln(‘x[‘i‘]= ‘x[i]:0:4);

end;

14.Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

39

t1+4t2+2t3-3t=0

2t1+9t2+5t3+2t4+t5=0

t1+3t2+t3-2t4-9t5=0

3t1+12t2+6t3-8t5=0

2t1+10t2+6t3+4t4+7t5=0

14.1. Установите режим автоматических вычислений, обозначив строка Automatic Calculation в меню Math.

14.2. Присвойте переменной ORIGIN значение, ровно 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

14.3. Введите матрицу системы:

14.4. Вычислите ранг матрицы системы:

14.5. Приведите матрицу системы к ступенчатого виду:

14.6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

Given

t 1 2.t 3 8.t 4 0

t 2 t 3 2.t 4 0

t 5 0

40

Здесь равно относится с панели:

14.7. Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных: (используйте ту же панель, что в пункте выше)

14.8. Запишите общее решение системы:

14.9. Найдите фундаментальную систему решений:

15.Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

15.1. Присвойте переменной ORIGIN значение, ровно 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

15.2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

41

15.3. Сформируйте расширенную матрицу системы:

15.4. Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод об общности системы:

15.5. Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатого вид:

15.6. Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и позвольте ее относительно базисных переменных:

15.7. Запишите общее решение:

15.8. Найдите фундаментальную систему решений:

42

16.Задачи к лабораторной работы № 3.

17.Решить систему уравнений с тремя неизвестными заданную в таблице методом Гаусса, методом простой итерации, методом Зейделя с точностью ε= 0,001. Составить функции, что реализуют методы, проверить решение по помощью встроенных функций пакета Mathcad.

43

44

18.Исследуйте неоднородную систему:

19.В отчете к лабораторной работы № 3 дайте ответ на вопросы по теме:

45

1. Какие вы знаете группы методов решения систем линейных уравнений с п неизвестными?

2. Какие методы относятся к прямым методам решения систем линейных уравнений с п неизвестными ?

3. Какие методы относятся до приближенных методов решения систем линейных уравнений с п неизвестными ?

4. Что означает решить систему уравнений с п неизвестными ?

5. В чем заключается суть метода Гаусса – Жордана для решения систем уравнений ? 6. Как формулируется правило прямоугольника для решения систем методом Гаусса – Жордана?

7. Что такое метрика ?

8. Что такое сжимающее отображение ?

9. В чем заключается суть метод простой итерации для решения систем уравнений ? 10. Какую систему можно решать методом простой итерации ?

11. Как привести систему к вида с преобладающими диагональными коэффициентами ?

12. Как находится расстояние между двумя приближениями в пространстве с метрикой , , . ρρ ρ 3?

13. Которые достаточны условия сходимости итерационного процесса при решении систем? 14. Как найти коэффициент сжатия?

15. Условие есть критерием достижения заданной точности при решении систем линейных уравнений методом простой итерации, методом Зейделя?

16. Как строится итерационная последовательность значений при решении систем уравнений методом простой итерации, методом Зейделя?

Лабораторная работа №4.

Тема: Решения задач линейного программирование.

Цель: Получение навыков в решении задач линейного программирование. Теоретические сведения.

Математически в общем виде задачи линейного программирование формулируют так: задан систему линейных уравнений

и линейную функцию (целевую функцию)

Надо найти такой неотъемлемый решение системы, при котором линейная функция приобретает крупнейшего (наименьшего) значение.

46

Система уравнений может иметь единый неотъемлемый решение, не иметь никакого неотъемлемого развязку, или иметь бесконечную множество неотъемлемых решений. Для последнего случае задача линейного программирование заключается в том, чтобы из этого множества найти тот решение, при котором целевая функция приобретает максимума (минимума).

Задача 1. Найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции: при ограничениях (условиях):

где заданы постоянные величины.

Решения:

1) Специальной переменной ORIGIN присвоить значение 1. Значением ORIGIN является номер первого элемента строки или столбца в матрицы. За умолчанию ORIGIN=0.

В меню Math выбрать строка Options или

2) Ввести начальные данные задачи в матричной форме.

3) Ввести линейную целевую функцию.

4) Задать начальные значение переменным задачи.

5) Ввести ограничения задачи в матричной форме (в случае небольшого числа переменных можно ввести ограничения в начальной форме).

или

47

6) Определить оптимальный решение задачи с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

7) В случае задачи с двумя переменными построить график прямых, что отвечают ограничением, и линии уровня, используя инструмент анимации.

Задача 2. Транспортная задача.

Найти экстремум (минимум) линейной целевой функции:

при предельных (условиях):

где данные постоянные величины, причем

.

Решения:

1.2. Ввести начальные данные:

48

3. Ввести линейную целевую функцию:

4. Задать начальные значения переменным:

5. Ввести ограничения задачи в матричной форме:

или

6. Визначти оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize.

Задача 3. Модель межотраслевого баланса Леонтьева Вычисления совокупного выпуска по заданном спроса.

Межотраслевой баланс в экономике, как известно, – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Допустим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, которые изготавливают определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли тратятся определенные ресурсы, которые изготавливаются как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики

49

выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем. Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должна сделать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся изготовленная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в отраслях, изготавливают, а другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

– объем выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, изготовленных в одном из n виготовляючих секторов), i = 1,2, …, n;

– объем товаров и услуг i-го сектора, что потребляются в j-м секторе;

– конечный продукт i-го сектора (объем продукции i-го сектора, что потребляется в секторе конечного спроса);

– количество продукции i-го сектора, которая тратится при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс – это равенство объема выпуска каждого изготавливаемого сектора суммарном объема его продукции, что потребляется производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношение баланса:

, i=1,2,…,n.

Соотношение баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат имеют вид:

, i=1,2,…,n,

или, что такое же самое

, i=1,2,…,n.